So, majority of native speakers prefer using “quicker” than “more quickly” in general or only in this case?
Rusanna, my original reply (#3) was trying to guess why your questioner was insisted on “quicker” as a answer, as well to your question.I might slighty rethink first.Why? この構造では、対比される2つの副詞・形容詞のバランスが重要なので、「quicker – sooner」が最も魅力的であることは明らかでしょう。
Now for your follow-up question: 私の印象では、「quicker」は「more quickly」からほとんど引き継いでいます。つまり、「quickly」は副詞で、「quick」は形容詞であり、したがって、それぞれの比較対象は「more quickly」と「quicker」であるという従来の教えは今ではほとんど無視されていて、実際多くのネイティブスピーカーがそれを知らないでいるような気がします。 しかし、私（年配者）は、（比較副詞が必要な場合）平均的な話者よりも「more quickly」を使うことが多いと思いますが、「ルール」を示すことはできません。「more quickly」が堅苦しい、あるいは過剰な几帳面に見えるような場合には、無意識に避けているように思います。 これは、「正しさ」、「論理」、「使い方」の間で、使い方が変化するときに起こるいつものことです。 なぜなら、それはネイティブスピーカーが状況のフォーマルさに応じてどちらかの形式を選択する（べきである）ということを意味するからです。しかし、実際、若い人たちにはもはやそのような選択は認められていないと思います。 しかし、私が適切な状況で「もっと早く」を選んでも、誰もそれが変だとは思わないでしょうし、実際、聴衆はそれを期待するかもしれません。
そこで、あなたの最初の質問に戻りますが、テスト問題に答える言語学習者として、「正しい」を「この状況でネイティブスピーカーが行うであろう選択、他の答えでは話し手が外国人または少なくとも変わり者であるとわかる場合、またはユニークで珍しい文脈を必要とする場合」と定義することが最善であると思います。 しかし、この文章には文脈がなく、「この仕事を早く終わらせれば終わらせるほど」と言っても眉唾であることは間違いないでしょう。