Cosa è lo zero elevato alla potenza di zero? Questa è una domanda che è stata posta più di 35 miliardi e 378 milioni di volte. E il 98% delle persone non ha risposto correttamente.
Primo, cosa significa 2⁵? Significa 2 per 2 per 2 per 2 per 2. In altre parole, moltiplica 2 per se stesso 5 volte. Ora, possiamo dire che 0⁰ significa “moltiplicare zero per se stesso 0 volte”. Hmmm, questo è imbarazzante.
Andiamo in direzioni diverse e troviamo le altre potenze.
Una volta quando vediamo un’equazione esponenziale come 0⁹ = 0 , diremo “zero alla nona potenza è zero”.
Sembra che 0⁰ = 0. Ma 0 alla -5a potenza è 1 su 0 che non è definito e lo stesso vale per 0 alla -100a potenza. Gli esponenti negativi indicano che 0⁰ dovrebbe essere indefinito.
Attacchiamo questo da un angolo diverso. Altri numeri elevati a 0 sono uguali a 1.
Questo schema indica che anche 0⁰ dovrebbe essere 1. Quindi, sembra che non ci sia certamente una soluzione esatta particolare? Che è esatta? Tuttavia, a seconda della situazione, si lavora in una risposta può essere migliore delle altre. La migliore spiegazione dovrebbe essere affidabile, ridurre la complessità inutile ed essere vantaggiosa.
La maggior parte dei teorici sceglie che in molti casi, 1 è la migliore definizione per 0⁰. Guardiamo due ragioni per questo. un aumento a b può essere visto come il numero di insiemi di elementi b che possono essere scelti da un insieme di elementi a.
Per esempio, 2¹ può essere osservato come la quantità di insiemi di un elemento che possono essere scelti dall’insieme di due elementi.
E 0⁰ è la quantità di insiemi di zero elementi che possono essere scelti da un insieme di zero elementi. Che deve essere 1! Quindi, 1 è l’unica definizione affidabile con questa comprensione dell’esponenziazione.
In questa prospettiva, qualsiasi altra definizione confonderebbe inutilmente le cose. Per un altro caso in cui 0⁰= 1 è una definizione vantaggiosa, guardiamo l’enunciato binomiale.
Come x = 0, questo si semplifica in 1 = 0⁰ – 1. In questo articolo, l’unica spiegazione di 0⁰ che costruisce correttamente l’enunciato binomiale è 1. Ancora una volta 0⁰= 1 è l’unica definizione che evita un’inutile complessità. Tuttavia, a seconda del tipo di matematica che stiamo facendo, 1 potrebbe non essere sempre la definizione migliore.
Per esempio, guardiamo alcuni limiti. Il limite di una funzione in un punto a è il valore della funzione che si avvicina man mano che il suo input si avvicina ad a. Siamo coinvolti in limiti della forma 0⁰ quando x = 0. Uno semplice è il limite di x⁰ quando x si avvicina a 0. Poiché x⁰ = 1 in tutti gli altri punti, anche il suo limite a 0 è 1. Questo sembra verificare che 0⁰ = 1.
Nonostante ci siano altri limiti della forma 0⁰ con valori diversi! Il limite di 0 elevato a x da destra è 0… E da sinistra è indefinito. E altri limiti della forma 0⁰ possono essere qualsiasi valore come questo che è e.
Questi conflitti sono buone ragioni per chiamare 0⁰ una “forma indeterminata” o “indefinita” quando si tratta di limiti. Queste sono le uniche definizioni che sono coerenti con il modo in cui definiamo i limiti.
Quindi cos’è 0⁰? Dipende! Spesso, 1 è la risposta migliore. Tuttavia, quando si tratta di limiti, “non definito” o “forma indeterminata” è più sensato. A seconda del tipo di matematica che stiamo facendo, anche le definizioni e le convenzioni possono cambiare!