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Modulo e argomento
Il diagramma di Argand
Definizione
Un diagramma di Argand ha un asse orizzontale, detto asse reale, e un asse verticale, detto asse immaginario.
Un numero complesso $z = a + bi$ è tracciato alle coordinate $(a,b)$, poiché $a$ è la parte reale del numero complesso, e $b$ la parte immaginaria.
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Esempio di lavoro
Esempio 1
Traccia i seguenti numeri complessi su un diagramma di Argand.
Partendo da z_1 &= 3+i \\ z_2 &= -2-4i \ z_3 &=-1+3i \ z_4 &= -2i \fine{align}
Soluzione
Modulo e argomento
Definizione
Ogni numero complesso $z$ può essere rappresentato da un punto su un diagramma di Argand. Possiamo unire questo punto all’origine con un segmento di linea. La lunghezza del segmento di retta è chiamata modulo del numero complesso e viene indicata con $\lvert z \rvert$. L’angolo misurato dall’asse reale positivo al segmento di retta è chiamato argomento del numero complesso, indicato con $arg(z)$ e spesso etichettato come $\theta$. Il modulo e l’argomento possono essere calcolati usando la trigonometria.
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Il modulo di un numero complesso $z = a + b i$ è \8013>
Quando si calcola l’argomento di un numero complesso, c’è una scelta da fare tra prendere valori nell’intervallo $$ o nell’intervallo $$. Entrambi sono equivalenti e ugualmente validi. In questa pagina useremo la convenzione $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
Il modo ‘ingenuo’ di calcolare l’angolo verso un punto $(a,b)$ è usare $\arctan(\frac{b}{a})$ ma, poiché $\arctan$ prende solo valori nell’intervallo $$, questo darà il risultato sbagliato per coordinate con componente $x$ negativa. Puoi risolvere questo problema aggiungendo o sottraendo $\pi$, a seconda del quadrante del diagramma di Argand in cui si trova il punto.
- Primo quadrante: $\theta = \arctan \sinistra(\dfrac{b}{a}{destra)$.
- Secondo quadrante: $ ̀theta = ̀arctan ̀left(̀dfrac{b}{a}}right) + \pi$.
- Terzo quadrante: $ ̀theta = ̀arctan ̀left(̀dfrac{b}{a}right) -\pi$.
- Quarto quadrante: $\theta = \artano \sinistra(\dfrac{b}{a}destra)$.
È una buona idea disegnare un diagramma di Argand del numero complesso quando si decide quale formula usare.
Nota: bisogna fare attenzione al caso in cui $a=0$, cioè il numero complesso non ha parte reale. In questo caso, il metodo $\arctan$ non funziona, ma l’argomento è o $-frac{\pi}{2}$ o $-\frac{\pi}{2}$ per i numeri con parte immaginaria positiva e negativa, rispettivamente.
Esempio
$z_1=1+i$ ha come argomento \
Tuttavia, lo stesso calcolo per $z_2=-1-i$ dà $\arctan \left(\frac{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, lo stesso numero!
Se disegniamo $z_2$ su un diagramma di Argand, possiamo vedere che cade nel terzo quadrante, quindi l’argomento dovrebbe essere tra $-\frac{\pi}{2}$ e $-\pi$. Dobbiamo sottrarre $\pi$ per correggere questo e quindi ottenere $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Esempi di lavoro
Esempio 1
Trovare il modulo e l’argomento del numero complesso $z = 3+2i$.
Soluzione
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Begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\ &= \sqrt{9+4}\ &= \sqrt{13} \fine{align}
Siccome il numero complesso sta nel primo quadrante del diagramma di Argand, possiamo usare $arctan \frac{2}{3}$ senza modifiche per trovare l’argomento.
inizio{align} \arg z &= \arctan \sinistra(\frac{2}{3}destra) \1203>=0.59 \testo{ radianti (a 2 d.p.)} \fine{align}
Esempio 2
Trovare il modulo e l’argomento del numero complesso $z=4i$.
Soluzione
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\fine{align} \Il modo più semplice per trovare l’argomento è guardare un diagramma di Argand e tracciare il punto $(0,4)$. Il punto giace sull’asse verticale positivo, quindi \
Esempio 3
Trova il modulo e l’argomento del numero complesso $z = -2+5i$.
Soluzione
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\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\ &= \sqrt{4+25}\ &= \sqrt{29} \fine{align}
Siccome $z$ è nel secondo quadrante del diagramma di Argand, dobbiamo aggiungere $\pi$ al risultato ottenuto da $arctan \sinistra(\frac{5}{-2}destra)$. \arg z &= \arctan \sinistra(\frac{5}{-2}destra) + \pi \1203>=-1,19 + \pi \1203>= 1,95 \testo{ radianti (a 2 d.p.)} \fine{align}
Esempio 4
Trovare il modulo e l’argomento del numero complesso $z = -4-3i$.
Soluzione
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\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}{1203>= \sqrt{16+9}{1203>= \sqrt{25}{1203>=5 \end{align}
Poiché $z$ si trova nel terzo quadrante del diagramma di Argand, dobbiamo sottrarre $\pi$ dal risultato di $\arctan \sinistra(\frac{-3}{-4}destra)$.
Partiamo dall’allineamento \arg z &= \arctan \sinistra(\frac{-3}{-4}destra) – \pi\ &= \arctan \sinistra(\frac{3}{4}destra) – \pi\ &= 0.64 – \pi\ &= -2.50 \testo{ radianti (a 2 d.p.)} \end{align}
Nota: In alternativa, la risposta avrebbe potuto essere data nell’intervallo $0 \lt \theta \lt 2\pi$, dove avremmo aggiunto $\pi$, invece di sottrarlo, e ottenuto una risposta di $\arg z = 3,67$ radianti (a 2 d.p.)
Esempio 5
Trova il modulo e l’argomento del numero complesso $z = 1-4i$.
Soluzione
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\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\ &= \sqrt{1+16}\ &= \sqrt{17} \fine{align}
Siccome $z$ si trova nel quarto quadrante del diagramma di Argand, non abbiamo bisogno di modificare il risultato di $arctan \sinistra(\frac{-4}{1}destra)$ per trovare l’argomento.
inizio{align} \arg z &= \artano \sinistra(\frac{-4}{1}destra)\ &= \artano \sinistra(-4}destra)\ &= -1.33 \testo{ radianti (a 2 d.p.)} \end{align}
Esempio video
Il Prof. Robin Johnson disegna i numeri complessi $z=-1-i$ e $z=-4+3i$ su un diagramma di Argand, e trova il loro modulo e argomento.
Libro di lavoro
Questo libro di lavoro prodotto da HELM è un buon aiuto per il ripasso, contiene punti chiave per il ripasso e molti esempi lavorati.
- Diagrammi di Argand e forma polare
Test Yourself
Test yourself: Test di Numbas per trovare il modulo e l’argomento
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