Negazione
A volte in matematica è importante determinare quale sia il contrario di una data affermazione matematica. Di solito ci si riferisce a questo come “negazione” di un’affermazione. Una cosa da tenere a mente è che se un’affermazione è vera, allora la sua negazione è falsa (e se un’affermazione è falsa, allora la sua negazione è vera).
Diamo uno sguardo ad alcune delle negazioni più comuni.
Negazione di “A o B”.
Prima di dare la risposta, proviamo a fare questo per un esempio.
Consideriamo l’affermazione “O sei ricco o sei felice”. Perché questa affermazione sia falsa, non si può essere ricchi e non si può essere felici. In altre parole, il contrario è non essere ricco e non essere felice. Oppure, se lo riscriviamo in termini dell’affermazione originale, otteniamo “Tu non sei ricco e non sei felice”.
Se lasciamo che A sia l’affermazione “Sei ricco” e B l’affermazione “Sei felice”, allora la negazione di “A o B” diventa “Non A e non B.”
In generale, abbiamo la stessa affermazione: La negazione di “A o B” è l’affermazione “Non A e non B.”
Negazione di “A e B”.
Ancora una volta, analizziamo prima un esempio.
Consideriamo l’affermazione “Sono sia ricco che felice”. Perché questa affermazione sia falsa potrei essere o non ricco o non felice. Se lasciamo che A sia l’affermazione “Sono ricco” e B l’affermazione “Sono felice”, allora la negazione di “A e B” diventa “Non sono ricco o non sono felice” o “Non A o non B”.
Negazione di “Se A, allora B”.
Per negare un’affermazione della forma “Se A, allora B” dobbiamo sostituirla con l’affermazione “A e non B”. Questo potrebbe sembrare confuso all’inizio, quindi diamo un’occhiata ad un semplice esempio per aiutare a capire perché questa è la cosa giusta da fare.
Considera l’affermazione “Se sono ricco, allora sono felice”. Perché questa affermazione sia falsa, dovrei essere ricco e non felice. Se A è l’affermazione “sono ricco” e B è l’affermazione “sono felice”, allora la negazione di “A $\Rightarrow$ B” è “sono ricco” = A, e “non sono felice” = non B.
Quindi la negazione di “se A, allora B” diventa “A e non B”.
Esempio.
Ora consideriamo un’affermazione che coinvolge un po’ di matematica. Prendiamo l’affermazione “Se n è pari, allora $frac{n}{2}$ è un intero”. Perché questa affermazione sia falsa, dovremmo trovare un intero pari $n$ per il quale $frac{n}{2}$ non sia un intero. Quindi l’opposto di questa affermazione è l’affermazione che “$n$ è pari e $frac{n}{2}$ non è un intero.”
Negazione di “Per ogni …”, “Per tutti …”, “Esiste …”
A volte incontriamo frasi come “per ogni,” “per qualsiasi,” “per tutti” e “esiste” in affermazioni matematiche.
Esempio.
Consideriamo l’affermazione “Per tutti gli interi $n$, o $n$ è pari o $n$ è dispari”.Anche se il fraseggio è un po’ diverso, questa è un’affermazione della forma “Se A, allora B.” Possiamo riformulare questa frase come segue: “Se $n$ è un intero qualsiasi, allora o $n$ è pari o $n$ è dispari.”
Come potremmo negare questa affermazione? Perché questa affermazione sia falsa, tutto ciò di cui abbiamo bisogno è trovare un singolo intero che non sia pari o dispari. In altre parole, la negazione è l’affermazione “Esiste un intero $n$, in modo che $n$ non sia pari e $n$ non sia dispari.”
In generale, quando si nega un’affermazione che implica “per tutti”, “per ogni”, la frase “per tutti” viene sostituita con “esiste”. Allo stesso modo, quando si nega un’affermazione che coinvolge “esiste”, la frase “esiste” viene sostituita con “per ogni” o “per tutti.”
Esempio. Negare l’affermazione “Se tutti i ricchi sono felici, allora tutti i poveri sono tristi”.
In primo luogo, questa affermazione ha la forma “Se A, allora B”, dove A è l’affermazione “Tutti i ricchi sono felici” e B è l’affermazione “Tutti i poveri sono tristi”. Quindi la negazione ha la forma “A e non B”. Quindi dovremo negare B. La negazione dell’affermazione B è “Esiste una persona povera che non è triste”.
Mettendo insieme tutto questo si ottiene: “Tutti i ricchi sono felici, ma esiste un povero che non è triste” come negazione di “Se tutti i ricchi sono felici, allora tutti i poveri sono tristi.”
Riassunto.
| Dichiarazione | Negazione |
| “A o B” | “non A e non B” |
| “A e B” | “non A o non B” |
| “se A, allora B” | “A e non B” |
| “Per tutti gli x, A(x)” | “Esiste x tale che non A(x)” |
| “Esiste x tale che A(x)” | “Per ogni x, non A(x)” |