Linearità

In matematica, una mappa lineare o funzione lineare f(x) è una funzione che soddisfa le due proprietà:

• Additività: f(x + y) = f(x) + f(y).
• Omogeneità di grado 1: f(αx) = α f(x) per tutti gli α.

Queste proprietà sono note come principio di sovrapposizione. In questa definizione, x non è necessariamente un numero reale, ma può essere in generale un elemento di qualsiasi spazio vettoriale. Una definizione più speciale di funzione lineare, che non coincide con la definizione di mappa lineare, è usata nella matematica elementare (vedi sotto).

La sola additività implica l’omogeneità per α razionale, poiché f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}

implica f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}

per qualsiasi numero naturale n per induzione matematica, e quindi n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}

implica f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={tfrac {n}{m}}f(x)}

. La densità dei numeri razionali nei reali implica che qualsiasi funzione continua additiva è omogenea per qualsiasi numero reale α, ed è quindi lineare.

Il concetto di linearità può essere esteso agli operatori lineari. Importanti esempi di operatori lineari includono la derivata considerata come un operatore differenziale, e altri operatori costruiti da essa, come del e il laplaciano. Quando un’equazione differenziale può essere espressa in forma lineare, può generalmente essere risolta scomponendo l’equazione in parti più piccole, risolvendo ciascuna di queste parti e sommando le soluzioni.

L’algebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, degli spazi vettoriali (chiamati anche ‘spazi lineari’), delle trasformazioni lineari (chiamate anche ‘mappe lineari’) e dei sistemi di equazioni lineari.

Per una descrizione delle equazioni lineari e non lineari, vedi Equazione lineare.

Polinomi lineariModifica

In un uso diverso dalla definizione precedente, un polinomio di grado 1 è detto lineare, perché il grafico di una funzione di quella forma è una linea retta.

Sui reali, un’equazione lineare è una delle forme:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b}

dove m è spesso chiamata pendenza o gradiente; b l’intercetta y, che dà il punto di intersezione tra il grafico della funzione e l’asse y.

Nota che questo uso del termine lineare non è lo stesso della sezione precedente, perché i polinomi lineari sui numeri reali non soddisfano in generale né additività né omogeneità. Infatti, lo fanno se e solo se b = 0. Quindi, se b ≠ 0, la funzione è spesso chiamata una funzione affine (vedi in maggiore generalità trasformazione affine).

Funzioni booleaneModifica

In algebra booleana, una funzione lineare è una funzione f {\displaystyle f}

per la quale esistono a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}} in \0,1}}

tale che f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\plus (a_{1}terra b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}terra b_{n})}

, dove b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {b_{1},\ldots ,b_{n} in \0,1}.

Nota che se a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}

, la suddetta funzione è considerata affine in algebra lineare (cioè non lineare).

Una funzione booleana è lineare se una delle seguenti condizioni è valida per la tabella di verità della funzione:

1. In ogni riga in cui il valore di verità della funzione è T, c’è un numero dispari di T assegnato agli argomenti, e in ogni riga in cui la funzione è F c’è un numero pari di T assegnato agli argomenti. In particolare, f(F, F, …, F) = F, e queste funzioni corrispondono a mappe lineari sullo spazio vettoriale booleano.
2. In ogni riga in cui il valore della funzione è T, c’è un numero pari di T assegnato agli argomenti della funzione; e in ogni riga in cui il valore di verità della funzione è F, c’è un numero dispari di T assegnato agli argomenti. In questo caso, f(F, F, …, F) = T.

Un altro modo di esprimere questo è che ogni variabile fa sempre una differenza nel valore di verità dell’operazione o non fa mai una differenza.

Negazione, bicondizionale logica, esclusiva o, tautologia e contraddizione sono funzioni lineari.

Funzioni lineari