Di Benjamin Skuse
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Separatrix Separation
Un pendolo in movimento può oscillare da un lato all’altro o girare in un cerchio continuo. Il punto in cui passa da un tipo di moto all’altro è chiamato separatrice, e questo può essere calcolato nella maggior parte delle situazioni semplici. Quando però il pendolo viene pungolato ad una velocità quasi costante, la matematica crolla. Esiste un’equazione che possa descrivere quel tipo di separatrice?
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Navier-Stokes
Le equazioni di Navier-Stokes, sviluppate nel 1822, sono usate per descrivere il moto dei fluidi viscosi. Cose come l’aria che passa sull’ala di un aereo o l’acqua che scorre da un rubinetto. Ma ci sono alcune situazioni in cui non è chiaro se le equazioni falliscono o non danno alcuna risposta. Molti matematici hanno cercato – e fallito – di risolvere la questione, compreso Mukhtarbay Otelbaev dell’Università Nazionale Eurasiatica di Astana, Kazakistan. Nel 2014, ha sostenuto una soluzione, ma poi l’ha ritrattata. Questo è un problema che vale più del semplice prestigio. È anche uno dei problemi del Millennium Prize, il che significa che chiunque lo risolva può richiedere un milione di dollari di premio.
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Esponenti e dimensioni
Immaginate uno spruzzo di profumo che si diffonde in una stanza. Il movimento di ogni molecola è casuale, un processo chiamato moto browniano, anche se il modo in cui il gas si diffonde è prevedibile. Esiste un linguaggio matematico che può descrivere cose come questa, ma non perfettamente. Può fornire soluzioni esatte piegando le sue stesse regole o può rimanere rigoroso, ma non arrivare mai alla soluzione esatta. Potrebbe mai spuntare entrambe le caselle? Questo è ciò che chiede il problema degli esponenti e delle dimensioni. A parte il problema della conduttanza quantistica di Hall, questo è l’unico della lista che è almeno parzialmente risolto. Nel 2000, Gregory Lawler, Oded Schramm e Wendelin Werner hanno dimostrato che le soluzioni esatte di due problemi del moto browniano possono essere trovate senza piegare le regole. Questo è valso loro una medaglia Fields, l’equivalente matematico di un premio Nobel. Più recentemente, Stanislav Smirnov dell’Università di Ginevra in Svizzera ha risolto un problema simile, che gli ha fatto vincere la medaglia Fields nel 2010.
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Teoremi di impossibilità
Ci sono molte espressioni matematiche che non hanno soluzione esatta. Prendiamo uno dei numeri più famosi di sempre, il pi greco, che è il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro. Dimostrare che è impossibile che le cifre di pi greco dopo il punto decimale finiscano mai è stato uno dei più grandi contributi alla matematica. Allo stesso modo i fisici dicono che è impossibile trovare soluzioni a certi problemi, come trovare le energie esatte degli elettroni che orbitano intorno a un atomo di elio. Ma possiamo provare questa impossibilità?
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Vetro spin
Per capire questo problema, bisogna conoscere lo spin, una proprietà meccanica quantistica degli atomi e delle particelle come gli elettroni, che è alla base del magnetismo. Si può pensare ad esso come ad una freccia che può puntare verso l’alto o verso il basso. Gli elettroni all’interno dei blocchi di materiali sono più felici se si siedono accanto a elettroni che hanno lo spin opposto, ma ci sono alcune disposizioni in cui questo non è possibile. In questi magneti frustrati, gli spin spesso girano a caso in un modo che, a quanto pare, è un modello utile di altri sistemi disordinati, compresi i mercati finanziari. Ma abbiamo modi limitati di descrivere matematicamente come si comportano sistemi come questo. Questa domanda sugli spin glass chiede se possiamo trovare un buon modo per farlo.
– Vedi la lista completa dei problemi irrisolti: Open Problems in Mathematical Physics
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