Togger le menu principalTogger la recherche
Module et argument
Le diagramme d’Argand
Définition
Un diagramme d’Argand a un axe horizontal, appelé axe réel, et un axe vertical, appelé axe imaginaire.
Un nombre complexe $z = a + bi$ est tracé aux coordonnées $(a,b)$, car $a$ est la partie réelle du nombre complexe, et $b$ la partie imaginaire.
|center
Exemple travaillé
Exemple 1
Placer les nombres complexes suivants sur un diagramme d’Argand.
\begin{align} z_1 &= 3+i \\ z_2 &= -2-4i \\ z_3 &=-1+3i \ z_4 &= -2i \end{align}
Solution
Module et argument
Définition
Tout nombre complexe $z$ peut être représenté par un point sur un diagramme d’Argand. On peut joindre ce point à l’origine par un segment de droite. La longueur du segment de droite est appelée le module du nombre complexe et est notée $\lvert z \rvert$. L’angle mesuré entre l’axe réel positif et le segment de droite est appelé l’argument du nombre complexe, noté $arg(z)$ et souvent étiqueté $\theta$. Le module et l’argument peuvent être calculés en utilisant la trigonométrie.
|center
Le module d’un nombre complexe $z = a + b i$ est \8013>
Lorsque l’on calcule l’argument d’un nombre complexe, il y a un choix à faire entre prendre des valeurs dans l’intervalle $$ ou dans l’intervalle $$. Les deux sont équivalents et tout aussi valables. Sur cette page, nous utiliserons la convention $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
La façon « naïve » de calculer l’angle à un point $(a,b)$ est d’utiliser $\arctan(\frac{b}{a})$ mais, puisque $\arctan$ ne prend que des valeurs dans l’intervalle $$, cela donnera un résultat erroné pour les coordonnées avec une composante $x$ négative. Vous pouvez corriger cela en ajoutant ou en soustrayant $\pi$, selon le quadrant du diagramme d’Argand dans lequel se trouve le point.
- Premier quadrant : $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
- Deuxième quadrant : $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) + \pi$.
- Troisième quadrant : $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) -\pi$.
- Quatrième quadrant : $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
C’est une bonne idée de dessiner un diagramme d’Argand du nombre complexe lorsqu’on prend la décision de la formule à utiliser.
Note : attention au cas où $a=0$, c’est-à-dire que le nombre complexe n’a pas de partie réelle. Dans ce cas, la méthode $\arctan$ ne fonctionne pas, mais l’argument est soit $\frac{\pi}{2}$ soit $-\frac{\pi}{2}$ pour les nombres ayant respectivement une partie imaginaire positive et négative.
Exemple
$z_1=1+i$ a pour argument \
Pour autant, le même calcul pour $z_2=-1-i$ donne $\arctan \left(\frac{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, le même nombre !
Si on dessine $z_2$ sur un diagramme d’Argand, on voit qu’il tombe dans le troisième quadrant, donc l’argument doit être compris entre $-\frac{\pi}{2}$ et $-\pi$. Il faut soustraire $\pi$ pour corriger cela et donc obtenir $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Exemples travaillés
Exemple 1
Trouver le module et l’argument du nombre complexe $z = 3+2i$.
Solution
|centre
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\\N &=\sqrt{9+4}\N &=\sqrt{13} \end{align}
Comme le nombre complexe se trouve dans le premier quadrant du diagramme d’Argand, nous pouvons utiliser $\arctan \frac{2}{3}$ sans modification pour trouver l’argument.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}\right) \\\N &=0,59 \text{ radians (à 2 d.p.)} \end{align}
Exemple 2
Trouver le module et l’argument du nombre complexe $z=4i$.
Solution
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\\\\\N &=\sqrt{16}\\\N &=4 \end{align}
La façon la plus simple de trouver l’argument est de regarder un diagramme d’Argand et de tracer le point $(0,4)$. Le point se trouve sur l’axe vertical positif, donc \
Exemple 3
Trouver le module et l’argument du nombre complexe $z = -2+5i$.
Solution
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\\\\\N &=\sqrt{4+25}\N &=\sqrt{29} \end{align}
Comme $z$ est dans le second quadrant du diagramme d’Argand, nous devons ajouter $\pi$ au résultat obtenu par $\arctan \left(\frac{5}{-2}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}\right) + \pi \\\\\N &=-1.19 + \pi \N &= 1.95 \text{ radians (à 2 d.p.)} \end{align}
Exemple 4
Trouver le module et l’argument du nombre complexe $z = -4-3i$.
Solution
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\\\N &=\sqrt{16+9}\N &=\sqrt{25}\N &=5 \end{align}
Comme $z$ se trouve dans le troisième quadrant du diagramme d’Argand, nous devons soustraire $\pi$ du résultat de $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\right) – \pi\\\\\N &= \arctan \left(\frac{3}{4}\right) – \pi\\\\N &= 0.64 – \pi \\N &= -2.50 \text{ radians (à 2 d.p.)} \end{align}
Note : Alternativement, la réponse aurait pu être donnée dans l’intervalle $0 \lt \theta \lt 2\pi$, où nous aurions ajouté $\pi$, au lieu de le soustraire, et obtenu une réponse de $\arg z = 3,67$ radians (à 2 d.p.)
Exemple 5
Trouver le module et l’argument du nombre complexe $z = 1-4i$.
Solution
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\\\\N &=\sqrt{1+16}\N &=\sqrt{17} \end{align}
Comme $z$ se trouve dans le quatrième quadrant du diagramme d’Argand, nous n’avons pas besoin de modifier le résultat de $\arctan \left(\frac{-4}{1}\right)$ pour trouver l’argument.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\right)\\\\N &= \arctan \left(-4\right) \N &= -1.33 \text{ radians (à 2 d.p.)} \end{align}
Exemple vidéo
Le professeur Robin Johnson trace les nombres complexes $z=-1-i$ et $z=-4+3i$ sur un diagramme d’Argand, et trouve leur module et leur argument.
Workbook
Ce workbook produit par HELM est une bonne aide à la révision, contenant des points clés pour la révision et de nombreux exemples travaillés.
- Diagrammes d’Argand et forme polaire
Test Yourself
Testez vous : Test de Numbas sur la recherche du module et de l’argument
.