Négation
Parfois, en mathématiques, il est important de déterminer quel est le contraire d’un énoncé mathématique donné. On parle généralement de « négation » d’un énoncé. Une chose à garder à l’esprit est que si un énoncé est vrai, alors sa négation est fausse (et si un énoncé est faux, alors sa négation est vraie).
Passons en revue certaines des négations les plus courantes.
Négation de « A ou B ».
Avant de donner la réponse, essayons de le faire pour un exemple.
Considérons l’affirmation « Vous êtes soit riche, soit heureux. » Pour que cette affirmation soit fausse, on ne peut pas être riche et on ne peut pas être heureux. En d’autres termes, le contraire est de ne pas être riche et de ne pas être heureux. Ou si nous le réécrivons en termes de l’énoncé original, nous obtenons « Vous n’êtes pas riche et pas heureux. »
Si nous laissons A être l’énoncé « Vous êtes riche » et B l’énoncé « Vous êtes heureux », alors la négation de « A ou B » devient « Pas A et Pas B. »
En général, nous avons le même énoncé : La négation de « A ou B » est l’énoncé « Pas A et Pas B ».
Négation de « A et B ».
A nouveau, analysons d’abord un exemple.
Considérons l’énoncé « Je suis à la fois riche et heureux. » Pour que cette affirmation soit fausse, je pourrais être soit pas riche, soit pas heureux. Si nous laissons A être l’affirmation « Je suis riche » et B l’affirmation « Je suis heureux », alors la négation de « A et B » devient « Je ne suis pas riche ou je ne suis pas heureux » ou « Pas A ou Pas B ».
Négation de « Si A, alors B ».
Pour nier une affirmation de la forme « Si A, alors B », il faut la remplacer par l’affirmation « A et Non B ». Cela peut sembler déroutant au début, alors regardons un exemple simple pour aider à comprendre pourquoi c’est la bonne chose à faire.
Considérons l’affirmation « Si je suis riche, alors je suis heureux. » Pour que cette affirmation soit fausse, il faudrait que je sois riche et pas heureux. Si A est l’énoncé « Je suis riche » et B est l’énoncé « Je suis heureux », alors la négation de « A $\Rightarrow$ B » est « Je suis riche » = A, et « Je ne suis pas heureux » = pas B.
Donc la négation de « si A, alors B » devient « A et pas B ».
Exemple.
Envisageons maintenant un énoncé impliquant quelques mathématiques. Prenons l’énoncé « Si n est pair, alors $\frac{n}{2}$ est un nombre entier. » Pour que cette affirmation soit fausse, il faudrait trouver un nombre entier pair $n$ pour lequel $\frac{n}{2}$ n’est pas un nombre entier. Le contraire de cette affirmation est donc l’affirmation selon laquelle « $n$ est pair et $\frac{n}{2}$ n’est pas un entier. »
Négation de « Pour chaque … », « Pour tous … », « Il existe … »
On rencontre parfois des expressions telles que « pour chaque », « pour tout », « pour tous » et « il existe » dans les énoncés mathématiques.
Exemple.
Considérez l’énoncé « Pour tous les entiers $n$, soit $n$ est pair, soit $n$ est impair ».Bien que la formulation soit un peu différente, il s’agit d’un énoncé de la forme « Si A, alors B ». On peut reformuler cette phrase comme suit : « Si $n$ est un nombre entier quelconque, alors soit $n$ est pair, soit $n$ est impair. »
Comment pourrions-nous nier cette affirmation ? Pour que cette affirmation soit fausse, il suffirait de trouver un seul entier qui ne soit ni pair ni impair. En d’autres termes, la négation est l’énoncé « Il existe un entier $n$, de sorte que $n$ n’est pas pair et $n$ n’est pas impair. »
En général, lors de la négation d’un énoncé impliquant « pour tous », « pour chaque », l’expression « pour tous » est remplacée par « il existe ». De même, lors de la négation d’un énoncé impliquant « il existe », l’expression « il existe » est remplacée par « pour tous » ou « pour toutes ». »
Exemple. Négation de l’énoncé « Si tous les riches sont heureux, alors tous les pauvres sont tristes. »
D’abord, cet énoncé a la forme « Si A, alors B », où A est l’énoncé « Tous les riches sont heureux » et B est l’énoncé « Tous les pauvres sont tristes. » La négation a donc la forme « A et non B ». Nous allons donc devoir nier B. La négation de l’énoncé B est « Il existe une personne pauvre qui n’est pas triste. »
En assemblant tout cela, on obtient : « Tous les riches sont heureux, mais il existe un pauvre qui n’est pas triste » comme négation de « Si tous les riches sont heureux, alors tous les pauvres sont tristes. »
Résumé.
| Énoncé | Négation |
| « A ou B » | « pas A et pas B » |
| « A et B » | « pas A ou pas B » |
| « si A, alors B » | « A et non B » |
| « Pour tout x, A(x) » | « Il existe x tel que pas A(x) » |
| « Il existe x tel que A(x) ». | « Pour tout x, pas A(x) » |