Linéarité

En mathématiques, une carte linéaire ou une fonction linéaire f(x) est une fonction qui satisfait aux deux propriétés :

• Additivité : f(x + y) = f(x) + f(y).
• Homogénéité de degré 1 : f(αx) = α f(x) pour tout α.

Ces propriétés sont connues sous le nom de principe de superposition. Dans cette définition, x n’est pas nécessairement un nombre réel, mais peut en général être un élément d’un espace vectoriel quelconque. Une définition plus spéciale de la fonction linéaire, ne coïncidant pas avec la définition de la carte linéaire, est utilisée en mathématiques élémentaires (voir ci-dessous).

L’additivité seule implique l’homogénéité pour α rationnel, puisque f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}.

implique f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}.

pour tout nombre naturel n par induction mathématique, et alors n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}

implique f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}

. La densité des nombres rationnels dans les réels implique que toute fonction continue additive est homogène pour tout nombre réel α, et est donc linéaire.

Le concept de linéarité peut être étendu aux opérateurs linéaires. Des exemples importants d’opérateurs linéaires incluent la dérivée considérée comme un opérateur différentiel, et d’autres opérateurs construits à partir d’elle, tels que del et le Laplacien. Lorsqu’une équation différentielle peut être exprimée sous forme linéaire, elle peut généralement être résolue en décomposant l’équation en plus petits morceaux, en résolvant chacun de ces morceaux et en additionnant les solutions.

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques concernée par l’étude des vecteurs, des espaces vectoriels (également appelés « espaces linéaires »), des transformations linéaires (également appelées « cartes linéaires ») et des systèmes d’équations linéaires.

Pour une description des équations linéaires et non linéaires, voir équation linéaire.

Polynômes linéairesEdit

Dans un usage différent de la définition ci-dessus, un polynôme de degré 1 est dit linéaire, car le graphe d’une fonction de cette forme est une droite.

Sur les réels, une équation linéaire est l’une des formes:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\ }.

où m est souvent appelé la pente ou le gradient ; b l’ordonnée à l’origine, qui donne le point d’intersection entre le graphique de la fonction et l’axe des y.

Notez que cet usage du terme linéaire n’est pas le même que dans la section ci-dessus, car les polynômes linéaires sur les nombres réels ne satisfont en général ni l’additivité ni l’homogénéité. En fait, ils le font si et seulement si b = 0. Par conséquent, si b ≠ 0, la fonction est souvent appelée une fonction affine (voir en plus grande généralité transformation affine).

Fonctions booléennesEdit

En algèbre de Boole, une fonction linéaire est une fonction f {\displaystyle f}.

pour laquelle il existe a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}.

telle que f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}

, où b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}

Notez que si a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}.

, la fonction ci-dessus est considérée comme affine en algèbre linéaire (c’est-à-dire non linéaire).

Une fonction booléenne est linéaire si l’une des conditions suivantes est vérifiée pour la table de vérité de la fonction :

1. Dans chaque ligne où la valeur de vérité de la fonction est T, il y a un nombre impair de Ts affectés aux arguments, et dans chaque ligne où la fonction est F, il y a un nombre pair de Ts affectés aux arguments. Plus précisément, f(F, F, …, F) = F, et ces fonctions correspondent à des cartes linéaires sur l’espace vectoriel booléen.
2. Dans chaque ligne où la valeur de la fonction est T, il y a un nombre pair de Ts affectés aux arguments de la fonction ; et dans chaque ligne où la valeur de vérité de la fonction est F, il y a un nombre impair de Ts affectés aux arguments. Dans ce cas, f(F, F, …, F) = T.

Une autre façon d’exprimer cela est que chaque variable fait toujours une différence dans la valeur de vérité de l’opération ou qu’elle ne fait jamais de différence.

Négation, biconditionnel logique, ou exclusif, tautologie et contradiction sont des fonctions linéaires.