Par Benjamin Skuse
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Séparatrice Séparation
Un pendule en mouvement peut soit se balancer d’un côté à l’autre, soit tourner dans un cercle continu. Le point où il passe d’un type de mouvement à l’autre s’appelle la séparatrice, et celle-ci peut être calculée dans la plupart des situations simples. Cependant, lorsque le pendule est poussé à une vitesse presque constante, les mathématiques s’effondrent. Existe-t-il une équation qui puisse décrire ce type de séparatrice ?
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Navier-Stokes
Les équations de Navier-Stokes, développées en 1822, sont utilisées pour décrire le mouvement d’un fluide visqueux. Des choses comme l’air passant au-dessus d’une aile d’avion ou l’eau s’écoulant d’un robinet. Mais dans certaines situations, il est difficile de savoir si les équations échouent ou ne donnent aucune réponse. De nombreux mathématiciens ont essayé – et échoué – à résoudre la question, notamment Mukhtarbay Otelbaev de l’Université nationale eurasienne d’Astana, au Kazakhstan. En 2014, il a affirmé avoir trouvé une solution, mais s’est ensuite rétracté. Voilà un problème qui vaut plus que le prestige. C’est également l’un des problèmes du prix du Millénaire, ce qui signifie que quiconque le résout peut prétendre à un million de dollars de prix.
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Exposants et dimensions
Imaginez une giclée de parfum se diffusant dans une pièce. Le mouvement de chaque molécule est aléatoire, un processus appelé mouvement brownien, même si la façon dont le gaz se diffuse globalement est prévisible. Il existe un langage mathématique qui peut décrire ce genre de choses, mais pas parfaitement. Il peut fournir des solutions exactes en contournant ses propres règles ou rester strict, mais ne jamais parvenir à la solution exacte. Pourrait-il jamais cocher les deux cases ? C’est ce que demande le problème des exposants et des dimensions. Hormis le problème de la conductance de Hall quantique, c’est le seul de la liste qui soit au moins partiellement résolu. En 2000, Gregory Lawler, Oded Schramm et Wendelin Werner ont prouvé qu’il était possible de trouver des solutions exactes à deux problèmes de mouvement brownien sans contourner les règles. Cette découverte leur a valu la médaille Fields, l’équivalent mathématique du prix Nobel. Plus récemment, Stanislav Smirnov, de l’Université de Genève en Suisse, a résolu un problème connexe, ce qui lui a valu de recevoir la médaille Fields en 2010.
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Théorèmes d’impossibilité
Il existe de nombreuses expressions mathématiques qui n’ont pas de solution exacte. Prenez l’un des nombres les plus célèbres de tous les temps, pi, qui est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. L’une des plus grandes contributions aux mathématiques a été de prouver qu’il était impossible que les chiffres de pi après la virgule se terminent un jour. De même, les physiciens affirment qu’il est impossible de trouver des solutions à certains problèmes, comme trouver les énergies exactes des électrons gravitant autour d’un atome d’hélium. Mais peut-on prouver cette impossibilité ?
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Verre à spin
Pour comprendre ce problème, vous devez connaître le spin, une propriété de mécanique quantique des atomes et des particules comme les électrons, qui sous-tend le magnétisme. Vous pouvez l’imaginer comme une flèche qui peut pointer vers le haut ou vers le bas. Les électrons à l’intérieur des blocs de matériaux sont plus heureux s’ils sont assis à côté d’électrons qui ont un spin opposé, mais il y a des arrangements où cela n’est pas possible. Dans ces aimants frustrés, les spins s’inversent souvent de manière aléatoire, d’une manière qui, en fait, est un modèle utile pour d’autres systèmes désordonnés, y compris les marchés financiers. Mais nous disposons de moyens limités pour décrire mathématiquement le comportement de tels systèmes. Cette question de verre de spin demande si nous pouvons trouver une bonne façon de le faire.
– Voir la liste complète des problèmes non résolus : Problèmes ouverts en physique mathématique
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