Mikä on nolla potenssiin nolla korotettuna? Tämä on kysymys, joka on esitetty yli 35 miljardia 378 miljoonaa kertaa. Ja 98 % ihmisistä ei ole vastannut oikein.
Aluksi, mitä 2⁵ tarkoittaa? Se tarkoittaa 2 kertaa 2 kertaa 2 kertaa 2 kertaa 2 kertaa 2. Toisin sanoen kerrotaan 2 itsellään 5 kertaa. Nyt voimme sanoa, että 0⁰ tarkoittaa ”kerro nolla itsellään 0 kertaa”. Hmmm, tuo on hankalaa.
Mennään eri suuntiin ja etsitään muut potenssit.
Kun näemme eksponenttiyhtälön, kuten 0⁹ = 0 , sanomme ”nolla yhdeksänteen potenssiin on nolla”.
Näyttää siltä, että 0⁰ = 0. Mutta 0:n -5:nteen potenssiin korotettu nolla on 1:llä yli 0:n, joka on määrittelemätön, ja sama pätee myös 0:n kanssa -100:nteen potenssiin. Negatiiviset eksponentit osoittavat, että 0⁰:n pitäisi olla määrittelemätön.
Hyökätäänpä tähän toisesta näkökulmasta. Muut luvut korotettuna nollaan ovat yhtä kuin 1.
Tämä kuvio osoittaa, että 0⁰:n pitäisi olla myös 1. Näyttää siis siltä, ettei varmasti ole olemassa mitään erityisen tarkkaa ratkaisua? Joka on tarkka? Kuitenkin tilanteesta riippuen, työskentelet yksi vastaus voi olla parempi kuin muut. Parhaan selityksen tulisi olla luotettava, vähentää turhaa monimutkaisuutta ja olla hyödyllinen.
Vähemmistö teoreetikoista valitsee, että monissa tapauksissa 1 on 0⁰:n hienoin määritelmä. Tarkastellaan kahta syytä tähän. a korotusta b:hen voidaan tarkastella niiden b:n alkioiden joukkojen lukumääränä, jotka voidaan valita a:n alkioiden joukosta.
Esimerkiksi 2¹ voidaan tarkastella niiden yhden alkion joukkojen lukumääränä, jotka voidaan valita kahden alkion joukosta.
Ja 0⁰ on nollan alkuaineen joukkojen määrä, joka voidaan valita nollan alkuaineen joukosta. Jonka täytyy olla 1! 1 on siis ainoa määritelmä, joka on luotettava tämän käsityksen mukaan eksponentiaalisuudesta.
Tässä näkökulmassa mikä tahansa muu määritelmä sekoittaisi asioita tarpeettomasti. Tässä kohdassa ainoa selitys 0⁰:lle, joka rakentaa binomilausekkeen oikein, on 1. Jälleen 0⁰= 1 on ainoa määritelmä, jolla vältetään turha monimutkaisuus. Kuitenkin riippuen siitä, millaista matematiikkaa teemme, 1 ei välttämättä ole pysyvästi hienoin määritelmä.
Katsotaanpa esimerkiksi joitakin raja-arvoja. Funktion raja-arvo pisteessä a on se arvo, jota funktio lähestyy, kun sen tulo lähestyy a:ta. Olemme tekemisissä raja-arvojen kanssa, jotka ovat muotoa 0⁰, kun x = 0. Yksinkertainen on x⁰:n raja-arvo x⁰:n lähestyessä x:tä 0. Koska x⁰ = 1 kaikissa muissa pisteissä, sen raja-arvo pisteessä 0 on myös 1. Tämä näyttää todentavan, että 0⁰ = 1.
Kuitenkin on olemassa muitakin raja-arvoja muodossa 0⁰, joilla on eri arvot! Oikealta päin x:ään korotetun 0:n raja on 0… Ja vasemmalta päin se on määrittelemätön. Ja muut raja-arvot, joiden muoto on 0⁰voi olla mikä tahansa arvo, kuten tämä, joka on e.
Nämä ristiriidat ovat hyviä syitä kutsua raja-arvoja käsiteltäessä 0⁰:ta ”epämääräiseksi muodoksi” tai ”määrittelemättömäksi”. Nämä ovat ainoat määritelmät, jotka ovat sopusoinnussa sen kanssa, miten me määrittelemme rajat.
Mitä siis on 0⁰? Se riippuu! Usein 1 on paras vastaus. Kuitenkin, kun käsitellään rajoja, ”määrittelemätön” tai ”epämääräinen muoto” os järkevämpi. Riippuen siitä, millaista matematiikkaa teemme, jopa määritelmät ja konventiot voivat muuttua!