Toggle Main MenuToggle Search
Moduuli ja argumentti
Argand-diagrammi
Määritelmä
Argand-diagrammissa on vaaka-akseli, jota kutsutaan reaaliakseliksi, ja pystyakseli, jota kutsutaan imaginaariakseliksi.
Kompleksiluku $z = a + bi$ piirretään koordinaatistossa $(a,b)$, sillä $a$ on kompleksiluvun reaaliosa ja $b$ imaginaariosa.
|center
Tehtäväesimerkki
Esimerkki 1
Plottaa seuraavat kompleksiluvut Argandin diagrammiin.
\begin{align} z_1 &= 3+i \\\ z_2 &= -2-4i \\\ z_3 &=-1+3i \\\ z_4 &= -2i \end{align}
Ratkaisu
Moduuli ja argumentti
Määritelmä
Mitä tahansa kompleksilukua $z$ voidaan esittää Argand-diagrammin pisteenä. Voimme yhdistää tämän pisteen origoon viivasegmentillä. Viivasegmentin pituutta kutsutaan kompleksiluvun modukseksi ja sitä merkitään $\lvert z \rvert$. Positiivisen reaaliakselin ja viivapätkän välillä mitattua kulmaa kutsutaan kompleksiluvun argumentiksi, jota merkitään $arg(z)$ ja usein $\theta$. Moduuli ja argumentti voidaan laskea trigonometrian avulla.
|center
Kompleksiluvun $z = a + b i$ moduuli on \
Kompleksiluvun argumenttia laskettaessa on valittava, ottaako se arvoja alueella $$ vai alueella $$. Molemmat ovat ekvivalentteja ja yhtä päteviä. Tällä sivulla käytämme konventiota $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
”Naiivi” tapa laskea kulma pisteeseen $(a,b)$ on käyttää arvoa $\arctan(\frac{b}{a})$, mutta koska $\arctan$ ottaa arvoja vain alueella $$, tämä antaa vääränlaisen tuloksen koordinaateille, joilla on negatiivinen $x$-komponentti. Tämän voi korjata lisäämällä tai vähentämällä $\pi$ sen mukaan, missä Argand-diagrammin kvadrantissa piste sijaitsee.
- Ensimmäinen kvadrantti: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
- Toinen kvadrantti: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) + \pi$.
- Kolmas kvadrantti: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) -\pi$.
- Neljäs kvadrantti: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
Kompleksiluvusta on hyvä piirtää Argand-diagrammi, kun päätetään, mitä kaavaa käytetään.
Huomautus: varo tapausta, jossa $a=0$ eli kompleksiluvulla ei ole reaalista osaa. Tällöin $\arctan$-menetelmä ei toimi, vaan argumentti on joko $\frac{\pi}{2}$ tai $-\frac{\pi}{2}$ luvuille, joilla on positiivinen ja negatiivinen imaginääriosa.
Esimerkki
$z_1=1+i$:n argumentti on \
Mutta sama laskutoimitus $z_2=-1-i$:lle antaa tulokseksi $\arctan \left(\frac{-1}{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, joka on sama luku!
Jos piirretään $z_2$ Argand-diagrammiin, nähdään, että se osuu kolmanteen kvadranttiin, joten argumentin pitäisi olla välillä $-\frac{\pi}{2}$ ja $-\pi$. Meidän on vähennettävä $\pi$ korjataksemme tämän ja näin ollen saamme $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Työskentelyesimerkkejä
Esimerkki 1
Erittäkää kompleksiluvun $z = 3+2i$ moduuli ja argumentti.
Ratkaisu
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\\ &=\sqrt{9+4}\\\ &=\sqrt{13} \end{align}
Koska kompleksiluku sijaitsee Argandin diagrammin ensimmäisessä kvadrantissa, voimme käyttää $\arctan \frac{2}{3}$ ilman muutoksia argumentin löytämiseksi.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}\right) \\\ &=0.59 \text{ radiaani (2 d.p.)} \end{align}
Esimerkki 2
Löydä kompleksiluvun $z=4i$ moduuli ja argumentti.
Ratkaisu
|keskiarvo
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\\\ &=\sqrt{16}\\\ &=4 \end{align}
Yksinkertaisin tapa löytää argumentti on katsoa Argand-diagrammia ja piirtää piste $(0,4)$. Piste sijaitsee positiivisella pystyakselilla, joten \
Esimerkki 3
Löydä kompleksiluvun $z = -2+5i$ moduuli ja argumentti.
Ratkaisu
|keskiarvo
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\\\ &=\sqrt{4+25}\\\ &=\sqrt{29} \end{align}
Koska $z$ on Argandin diagrammin toisessa kvadrantissa, meidän on lisättävä $\pi$ tulokseen, joka saadaan $\arctan \left(\frac{5}{-2}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}\right) + \pi \\\ &=-1.19 + \pi \\\ &= 1.95 \text{ radiaaneja (2 d.p.:lle)} \end{align}
Esimerkki 4
Löydä kompleksiluvun $z = -4-3i$ moduuli ja argumentti.
Ratkaisu
|keskiarvo
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\\\ &=\sqrt{16+9}\\\ &=\sqrt{25}\\\ &=5 \end{align}
Koska $z$ sijaitsee Argandin kaaviossa kolmannessa neliössä, meidän on vähennettävä $\pi$ tuloksesta $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\right) – \pi\\ &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\right) – \pi\\ &= 0.64 – \pi \\\ &= -2.50 \text{ radiaania (2 d.p.:n tarkkuudella)} \end{align}
Huomautus: Vaihtoehtoisesti vastaus olisi voitu antaa alueella $0 \lt \theta \lt 2\pi$, jolloin olisimme lisänneet $\pi$, sen sijaan että olisimme vähentäneet sen, ja saaneet vastaukseksi $\arg z = 3.67$ radiaania (2 d.p.:hen).p.)
Esimerkki 5
Löydä kompleksiluvun $z = 1-4i$ moduuli ja argumentti.
Ratkaisu
|keski
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\\\ &=\sqrt{1+16}\\\ &=\sqrt{17} \end{align}
Koska $z$ sijaitsee Argandin diagrammin neljännessä kvadrantissa, meidän ei tarvitse muuttaa $\arctan \left(\frac{-4}{1}{right)$ tulosta argumentin löytämiseksi.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\right)\\\ &= \arctan \left(-4\right) \\\ &= -1.33 \text{ radiaania (2 d.p.:n tarkkuudella)} \end{align}
Videoesimerkki
Prof. Robin Johnson piirtää kompleksiluvut $z=-1-i$ ja $z=-4+3i$ Argand-diagrammiin ja löytää niiden moduulin ja argumentin.
Työkirja
Tämä HELM:n tuottama työkirja on hyvä kertauksen apuväline, joka sisältää keskeiset kohdat kertausta varten ja monia työstettyjä esimerkkejä.
- Argand-diagrammit ja polaarimuoto
Testaa itsesi
Testaa itsesi: Numban testi moduulin ja argumentin löytämisestä