Negatiivisuus
Joskus matematiikassa on tärkeää selvittää, mikä on tietyn matemaattisen lausekkeen vastakohta. Tätä kutsutaan yleensä lausuman ”negaatioksi”. Kannattaa pitää mielessä, että jos lausuma on tosi, sen negaatio on epätosi (ja jos lausuma on epätosi, sen negaatio on tosi).
Katsotaanpa muutamia yleisimpiä negaatioita.
Negatiivisuus ”A tai B”.
Ennen vastauksen antamista yritetään tehdä tämä esimerkin avulla.
Harkitaan lausumaa ”Olet joko rikas tai onnellinen”. Jotta tämä väite olisi väärä, et voi olla rikas etkä voi olla onnellinen. Toisin sanoen, vastakohta on olla ei rikas eikä onnellinen. Tai jos kirjoitamme sen uudelleen alkuperäisen väitteen mukaisesti, saamme tuloksen ”Et ole rikas etkä onnellinen”.
Jos annamme A:n olla lausuma ”Olet rikas” ja B:n olla lausuma ”Olet onnellinen”, niin ”A:n tai B:n” negaatiosta tulee ”Ei A:ta eikä B:tä.”
Yleisesti meillä on sama lausuma: A:n tai B:n negaatio on lausuma ”Ei A eikä B.”
A:n ja B:n negaatio.
Edelleen, analysoidaan ensin yksi esimerkki.
Harkitaan lausumaa ”Olen sekä rikas että onnellinen”. Jotta tämä väite olisi väärä, voisin olla joko en rikas tai en onnellinen. Jos annamme A:n olla väite ”Olen rikas” ja B:n olla väite ”Olen onnellinen”, niin ”A:n ja B:n” negaatiosta tulee ”En ole rikas tai en ole onnellinen” tai ”Ei A:ta tai Ei B:tä”.
Negatiivisuus ”Jos A, niin B”.
Muotoisen lausuman ”Jos A, niin B” negaatioksi meidän on korvattava se lausumalla ”A ja Ei B”. Tämä saattaa aluksi tuntua hämmentävältä, joten tarkastellaan yksinkertaista esimerkkiä, joka auttaa ymmärtämään, miksi tämä on oikea tapa toimia.
Harkitaan lausumaa ”Jos olen rikas, niin olen onnellinen”. Jotta tämä väite olisi väärä, minun pitäisi olla rikas enkä onnellinen. Jos A on väite ”olen rikas” ja B on väite ”olen onnellinen”, niin ”A $\Rightarrow$ B” negaatio on ”olen rikas” = A, ja ”en ole onnellinen” = ei B.
Siten ”jos A, niin B” negaatiosta tulee ”A ja ei B”.
Esimerkki.
Harkitaan nyt lausumaa, johon liittyy matematiikkaa. Otetaan lausuma ”Jos n on parillinen, niin $\frac{n}{2}$ on kokonaisluku”. Jotta tämä väite olisi väärä, meidän pitäisi löytää parillinen kokonaisluku $n$, jolle $\frac{n}{2}$ ei olisi kokonaisluku. Tämän väitteen vastakohta on siis väite ”$n$ on parillinen ja $\frac{n}{2}$ ei ole kokonaisluku.”
Negatiivisuus ”Jokaiselle …”, ”Kaikille …”, ”On olemassa …”
Joskus törmäämme matemaattisissa lausekkeissa sellaisiin lausekkeisiin, kuten ”jokaiselle”, ”mille tahansa”, ”kaikille” ja ”on olemassa”.
Esimerkki.
Tarkastellaan lausumaa ”Kaikille kokonaisluvuille $n$ joko $n$ on parillinen tai $n$ on pariton.” Vaikka muotoilu on hieman erilainen, tämä on lausuma muotoa ”Jos A, niin B.”. Voimme muotoilla tämän lauseen uudelleen seuraavasti: ”Jos $n$ on mikä tahansa kokonaisluku, niin joko $n$ on parillinen tai $n$ on pariton.”
Miten kumoaisimme tämän väitteen? Jotta tämä väite olisi väärä, tarvitsisimme vain löytää yhden kokonaisluvun, joka ei ole parillinen eikä pariton. Toisin sanoen negaatio on lausuma ”On olemassa kokonaisluku $n$, niin että $n$ ei ole parillinen eikä $n$ ole pariton.”
Yleisesti, kun negaatiossa on lausuma, jossa on mukana ”kaikille”, ”jokaiselle”, lause ”kaikille” korvataan lauseella ”on olemassa”. Vastaavasti, kun kielletään lausuma, johon sisältyy ”on olemassa”, lause ”on olemassa” korvataan lauseella ”jokaiselle” tai ”kaikille”.”
Esimerkki. Nollaa väite ”Jos kaikki rikkaat ihmiset ovat onnellisia, niin kaikki köyhät ihmiset ovat surullisia”.
Aluksi tämä väite on muodossa ”Jos A, niin B”, jossa A on väite ”Kaikki rikkaat ihmiset ovat onnellisia” ja B on väite ”Kaikki köyhät ihmiset ovat surullisia”. Negaatio on siis muotoa ”A eikä B”. Tarvitsemme siis negaation B. Väitteen B negaatio on ”On olemassa köyhä ihminen, joka ei ole surullinen”.
Tämä yhdistämällä saadaan: ”Kaikki rikkaat ihmiset ovat onnellisia, mutta on olemassa köyhä ihminen, joka ei ole surullinen” negaatioksi lauseelle ”Jos kaikki rikkaat ihmiset ovat onnellisia, niin kaikki köyhät ihmiset ovat surullisia.”
Yhteenveto.
| Väite | Negaatio |
| ”A tai B” | ”ei A eikä B” |
| ”A ja B” | ”ei A tai ei B” |
| ”jos A, silloin B” | ”A ja ei B” |
| ”Kaikille x, A(x)” | ”On olemassa x niin, että ei A(x)” |
| ”On olemassa x niin, että A(x)” | ”Jokaiselle x:lle ei A(x)” |