Lineaarisuus

Matematiikassa lineaarinen kartta tai lineaarinen funktio f(x) on funktio, joka täyttää kaksi ominaisuutta:

• Additiivisuus: f(x + y) = f(x) + f(y).
• 1. asteen homogeenisuus: f(αx) = α f(x) kaikille α.

Näitä ominaisuuksia kutsutaan superpositioperiaatteeksi. Tässä määritelmässä x ei välttämättä ole reaaliluku, vaan se voi yleensä olla minkä tahansa vektoriavaruuden alkio. Alkeismatematiikassa käytetään lineaarisen funktion erikoisempaa määritelmää, joka ei ole yhteneväinen lineaarisen kartan määritelmän kanssa (ks. alla).

Pelkkä additiivisuus implikoi homogeenisuuden rationaaliselle α:lle, koska f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}

implikoi f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}

mille tahansa luonnolliselle luvulle n matemaattisen induktion avulla, ja silloin n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}}x)}

implikoi f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}}x)={\tfrac {n}{m}}}f(x)}

. Rationaalilukujen tiheys reaaliluvuissa merkitsee, että mikä tahansa additiivinen jatkuva funktio on homogeeninen mille tahansa reaaliluvulle α ja siten lineaarinen.

Lineaarisuuden käsite voidaan laajentaa lineaarisiin operaattoreihin. Tärkeitä esimerkkejä lineaarisista operaattoreista ovat differentiaalioperaattorina tarkasteltu derivaatta ja muut siitä konstruoidut operaattorit, kuten del ja Laplacian. Kun differentiaaliyhtälö voidaan ilmaista lineaarisessa muodossa, se voidaan yleensä ratkaista pilkkomalla yhtälö pienempiin osiin, ratkaisemalla kukin näistä osista ja laskemalla ratkaisut yhteen.

Lineaarialgebra on matematiikan haara, joka käsittelee vektoreiden, vektoriavaruuksien (joita kutsutaan myös ’lineaarisiksi avaruuksiksi’), lineaaristen transformaatioiden (joita kutsutaan myös ’lineaarikartoiksi’) ja lineaaristen yhtälöryhmien järjestelmien tutkimista.

Kuvaus lineaarisista ja epälineaarisista yhtälöistä, ks. kohta lineaariyhtälö.

Lineaariset polynomitMuokkaa

Yllä olevasta määritelmästä poikkeavassa käytössä asteen 1 polynomin sanotaan olevan lineaarinen, koska tämän muotoisen funktion kuvaaja on suora.

Reaaliluvuilla lineaarinen yhtälö on jokin seuraavista muodoista:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\\ }

jossa m:ää kutsutaan usein kaltevuudeksi tai gradientiksi; b:tä y-välille, joka antaa funktion kuvaajan ja y-akselin leikkauspisteen.

Huomaa, että tämä termin lineaarinen käyttö ei ole sama kuin yllä olevassa kappaleessa, koska reaalilukujen yli olevat lineaariset polynomit eivät yleensä täytä additiivisuutta eivätkä homogeenisuutta. Itse asiassa ne täyttävät ne, jos ja vain jos b = 0. Näin ollen, jos b ≠ 0, funktiota kutsutaan usein affiiniseksi funktioksi (ks. yleisemmin affiininen transformaatio).

Boolen funktiotEdit

Boolen algebrassa lineaarinen funktio on funktio f {\displaystyle f}

jolle on olemassa a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\ in \{0,1\}}}

siten, että f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}

, missä b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}

Huomaa, että jos a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}

, edellä mainittua funktiota pidetään lineaarialgebrassa affiinisena (eli ei lineaarisena).

Boolen funktio on lineaarinen, jos funktion totuustaululle pätee jompikumpi seuraavista:

1. Kullakin rivillä, jolla funktion totuusarvo on T, argumenteille on annettu pariton määrä Ts:tä, ja jokaisella rivillä, jolla funktio on F, argumenteille on annettu parillinen määrä Ts:tä. Tarkemmin sanottuna f(F, F, F, …, F) = F, ja nämä funktiot vastaavat lineaarisia karttoja Boolen vektoriavaruuden yli.
2. Kullakin rivillä, jolla funktion totuusarvo on T, funktion argumenteille on annettu parillinen määrä Ts:tä, ja jokaisella rivillä, jolla funktion totuusarvo on F, argumenteille on annettu pariton määrä Ts:tä. Tällöin f(F, F, F, …, F) = T.

Toinen tapa ilmaista tämä on, että jokaisella muuttujalla on aina eroa funktion totuusarvossa tai sillä ei ole koskaan eroa.

Negatiivisuus, looginen bikonditionaali, eksklusiivinen tai, tautologia ja ristiriita ovat lineaarifunktioita.