 |
 |
Huhtikuun 19. päivä 2001
Vanha haaste (Joe Shipman). Larry King sanoi USA Todayn kolumnissaan, että on 293 tapaa saada vaihtorahaa dollarilla. Pitääkö tämä paikkansa? (Oletetaan, että kyseessä ovat vain nykyisin lyödyt setelit.)
Vastaus. Kyllä, jos lasketaan yhden dollarin kolikko vaihtorahaksi. Raymond Hettinger listasi kaikki 293 mahdollisuutta, liitteenä sarakkeen lopussa. Michael Caulfield laski 292 muuta mahdollisuutta kuin yhden dollarin kolikko seuraavasti:
Jos käytetään 1 puoli dollaria, on 50 yhdistelmää:
toinen puoli dollaria (1 tapa)
2 neljännesdollaria (1 tapa)
1 neljännesdollari kanssa: 2 kymppiä (2 tapaa), 1 kymppi (4 tapaa) tai 0 kymppiä (6 tapaa).
0 kymppiä: 5 dimeä (1), 4 (3), 3 (5), 2 (7), 1 (9) tai 0 (11).
Jos ei käytetä puolikkaita dollareita, on 242 yhdistelmää:
4 neljännesdollaria (1 tapa)
3 neljännesdollaria, joilla: 2 kymppiä (2 tapaa), 1 (4) tai 0 (6).
2 kymppiä ja: 5 dimeä (1 tapa), 4 (3), 3 (5), 2 (7), 1 (9) tai 0 (11).
1 neljännesdollari, jossa on: (2), 6 (4), 5 (6), 4 (8), 3 (10), 2 (12), 1 (14), 0 (16)
0 neljännesdollaria, joissa on: 7 (2), 6 (4), 5 (6), 4 (8), 3 (10), 2 (12), 1 (14), 0 (16): 10 dimeä (1), 9 (3), 8 (5), 7 (7), 6 (9), 5 (11), 4 (13), 3 (15), 2 (17), 1 (19), 0 (21).
Torsten Sillke käsitteli, miten tällaiset laskutoimitukset voidaan suorittaa generoivien funktioiden avulla. Katso Herbert Wilfin ”Lectures on Integer Partitions” (sivu 10) osoitteessa http://www.math.upenn.edu/~wilf Vastaus ongelmaamme (293) on x^100:n kerroin seuraavan kertoimen käänteisluvussa:
Al Zimmermann toimitti seuraavan taulukon, jossa on esitetty, kuinka monella tapaa voi vaihtaa eri rahayksiköitä pienempiin rahayksiköihin:
| Valuuttayksikkö | Vaihtotapojen määrä |
| 1¢ | 0 |
| 5¢ | 1 |
| 10¢ | 3 |
| 25¢ | 12 |
| 50¢ | 49 |
| $1 | 292 |
| $2 | 2,728 |
| $5 | 111,022 |
| $10 | 3,237,134 |
| $20 | 155,848,897 |
| $50 | 58,853,234,018 |
| $100 | 9,823,546,661,905 |
Zimmermann lisäsi: Minä sallin 2 dollarin setelit. En erottanut vaihtorahoissa 1 dollarin kolikoita ja 1 dollarin seteleitä. Ajattelin asiaa ja päätin, että jos teen eron, minun pitäisi tehdä ero myös nyt liikkeeseen laskettavien 50 eri kolikon välillä. Enkä todellakaan halunnut tehdä sitä.
Caulfieldin ja Zimmermannin jälkeen ja Larry Kingin kiistellessä Walter Wright sanoo, että dollarin kolikkoa ei voida pitää vaihtorahana dollarin setelille: Webster’s New World Dictionary määrittelee vaihtorahaksi ”määrän kolikoita tai seteleitä, joiden yhteenlaskettu arvo vastaa yhtä suurempaa kolikkoa tai seteliä.”
Kysyttävää matematiikkaa. Al Zimmermann raportoi, että: ”Noin kolme vuotta sitten menin Citibankin pankkiautomaatille Manhattanin keskustassa nostamaan käteistä. Automaatti hylkäsi pyyntöni seuraavalla viestillä:
En voi antaa teille 130 dollaria, koska minulla on vain 50 ja 20 dollarin seteleitä. Please choose another amount.”
Tietysti $130 = $50 + 4 x $20.
Lukijoita pyydetään lähettämään lisää esimerkkejä kyseenalaisesta matematiikasta.
Uusi haaste. Mikä on suurin positiivinen luku, jonka voit esittää kolmella, erillisellä matemaattisella vakiosymbolilla, kuten 8×9? Pienin?
Lähettäkää vastaukset, kommentit ja uudet kysymykset sähköpostitse osoitteeseen [email protected], jotta voitte osallistua Flatland- ja muihin kirjapalkintoihin. Voittajavastaukset ilmestyvät seuraavassa Matematiikka-chatissa. Math Chat ilmestyy joka kuukauden ensimmäisenä ja kolmantena torstaina. Prof. Morganin kotisivut ovat osoitteessa www.williams.edu/Mathematics/fmorgan.
MATH CHAT -KIRJA, joka sisältää 1000 dollarin Math Chat -kirjakilpailun, kysymyksiä ja vastauksia sekä luettelon aiemmista kilpailun voittajista, on nyt saatavana MAA:sta (800-331-1622).
Raymond Hettingerin luettelo 293 tavasta saada vaihtorahaa dollarista:
1 : 0 0 0 0 0 0 100 (0 dollaria, 0 puolikasta dollaria, 0 neljännesdollaria, 0 kymppiä, 0
nikkeliä, 100 penniä)
2 : 0 0 0 0 1 95
3 : 0 0 0 0 2 90
4 : 0 0 0 0 3 85
5 : 0 0 0 0 4 80
6 : 0 0 0 0 5 75
7 : 0 0 0 0 6 70
8 : 0 0 0 0 7 65
9 : 0 0 0 0 8 60
10 : 0 0 0 0 9 55
11 : 0 0 0 0 10 50
12 : 0 0 0 0 11 45
13 : 0 0 0 0 12 40
14 : 0 0 0 0 13 35
15 : 0 0 0 0 14 30
16 : 0 0 0 0 15 25
17 : 0 0 0 0 16 20
18 : 0 0 0 0 17 15
19 : 0 0 0 0 18 10
20 : 0 0 0 0 19 5
21 : 0 0 0 0 20 0
22 : 0 0 0 1 0 90
23 : 0 0 0 1 1 85
24 : 0 0 0 1 2 80
25 : 0 0 0 1 3 75
26 : 0 0 0 1 4 70
27 : 0 0 0 1 5 65
28 : 0 0 0 1 6 60
29 : 0 0 0 1 7 55
30 : 0 0 0 1 8 50
31 : 0 0 0 1 9 45
32 : 0 0 0 1 10 40
33 : 0 0 0 1 11 35
34 : 0 0 0 1 12 30
35 : 0 0 0 1 13 25
36 : 0 0 0 1 14 20
37 : 0 0 0 1 15 15
38 : 0 0 0 1 16 10
39 : 0 0 0 1 17 5
40 : 0 0 0 1 18 0
41 : 0 0 0 2 0 80
42 : 0 0 0 2 1 75
43 : 0 0 0 2 2 70
44 : 0 0 0 2 3 65
45 : 0 0 0 2 4 60
46 : 0 0 0 2 5 55
47 : 0 0 0 2 6 50
48 : 0 0 0 2 7 45
49 : 0 0 0 2 8 40
50 : 0 0 0 2 9 35
51 : 0 0 0 2 10 30
52 : 0 0 0 2 11 25
53 : 0 0 0 2 12 20
54 : 0 0 0 2 13 15
55 : 0 0 0 2 14 10
56 : 0 0 0 2 15 5
57 : 0 0 0 2 16 0
58 : 0 0 0 3 0 70
59 : 0 0 0 3 1 65
60 : 0 0 0 3 2 60
61 : 0 0 0 3 3 55
62 : 0 0 0 3 4 50
63 : 0 0 0 3 5 45
64 : 0 0 0 3 6 40
65 : 0 0 0 3 7 35
66 : 0 0 0 3 8 30
67 : 0 0 0 3 9 25
68 : 0 0 0 3 10 20
69 : 0 0 0 3 11 15
70 : 0 0 0 3 12 10
71 : 0 0 0 3 13 5
72 : 0 0 0 3 14 0
73 : 0 0 0 4 0 60
74 : 0 0 0 4 1 55
75 : 0 0 0 4 2 50
76 : 0 0 0 4 3 45
77 : 0 0 0 4 4 40
78 : 0 0 0 4 5 35
79 : 0 0 0 4 6 30
80 : 0 0 0 4 7 25
81 : 0 0 0 4 8 20
82 : 0 0 0 4 9 15
83 : 0 0 0 4 10 10
84 : 0 0 0 4 11 5
85 : 0 0 0 4 12 0
86 : 0 0 0 5 0 50
87 : 0 0 0 5 1 45
88 : 0 0 0 5 2 40
89 : 0 0 0 5 3 35
90 : 0 0 0 5 4 30
91 : 0 0 0 5 5 25
92 : 0 0 0 5 6 20
93 : 0 0 0 5 7 15
94 : 0 0 0 5 8 10
95 : 0 0 0 5 9 5
96 : 0 0 0 5 10 0
97 : 0 0 0 6 0 40
98 : 0 0 0 6 1 35
99 : 0 0 0 6 2 30
100 : 0 0 0 6 3 25
101 : 0 0 0 6 4 20
102 : 0 0 0 6 5 15
103 : 0 0 0 6 6 10
104 : 0 0 0 6 7 5
105 : 0 0 0 6 8 0
106 : 0 0 0 7 0 30
107 : 0 0 0 7 1 25
108 : 0 0 0 7 2 20
109 : 0 0 0 7 3 15
110 : 0 0 0 7 4 10
111 : 0 0 0 7 5 5
112 : 0 0 0 7 6 0
113 : 0 0 0 8 0 20
114 : 0 0 0 8 1 15
115 : 0 0 0 8 2 10
116 : 0 0 0 8 3 5
117 : 0 0 0 8 4 0
118 : 0 0 0 9 0 10
119 : 0 0 0 9 1 5
120 : 0 0 0 9 2 0
121 : 0 0 0 10 0 0
122 : 0 0 1 0 0 75
123 : 0 0 1 0 1 70
124 : 0 0 1 0 2 65
125 : 0 0 1 0 3 60
126 : 0 0 1 0 4 55
127 : 0 0 1 0 5 50
128 : 0 0 1 0 6 45
129 : 0 0 1 0 7 40
130 : 0 0 1 0 8 35
131 : 0 0 1 0 9 30
132 : 0 0 1 0 10 25
133 : 0 0 1 0 11 20
134 : 0 0 1 0 12 15
135 : 0 0 1 0 13 10
136 : 0 0 1 0 14 5
137 : 0 0 1 0 15 0
138 : 0 0 1 1 0 65
139 : 0 0 1 1 1 60
140 : 0 0 1 1 2 55
141 : 0 0 1 1 3 50
142 : 0 0 1 1 4 45
143 : 0 0 1 1 5 40
144 : 0 0 1 1 6 35
145 : 0 0 1 1 7 30
146 : 0 0 1 1 8 25
147 : 0 0 1 1 9 20
148 : 0 0 1 1 10 15
149 : 0 0 1 1 11 10
150 : 0 0 1 1 12 5
151 : 0 0 1 1 13 0
152 : 0 0 1 2 0 55
153 : 0 0 1 2 1 50
154 : 0 0 1 2 2 45
155 : 0 0 1 2 3 40
156 : 0 0 1 2 4 35
157 : 0 0 1 2 5 30
158 : 0 0 1 2 6 25
159 : 0 0 1 2 7 20
160 : 0 0 1 2 8 15
161 : 0 0 1 2 9 10
162 : 0 0 1 2 10 5
163 : 0 0 1 2 11 0
164 : 0 0 1 3 0 45
165 : 0 0 1 3 1 40
166 : 0 0 1 3 2 35
167 : 0 0 1 3 3 30
168 : 0 0 1 3 4 25
169 : 0 0 1 3 5 20
170 : 0 0 1 3 6 15
171 : 0 0 1 3 7 10
172 : 0 0 1 3 8 5
173 : 0 0 1 3 9 0
174 : 0 0 1 4 0 35
175 : 0 0 1 4 1 30
176 : 0 0 1 4 2 25
177 : 0 0 1 4 3 20
178 : 0 0 1 4 4 15
179 : 0 0 1 4 5 10
180 : 0 0 1 4 6 5
181 : 0 0 1 4 7 0
182 : 0 0 1 5 0 25
183 : 0 0 1 5 1 20
184 : 0 0 1 5 2 15
185 : 0 0 1 5 3 10
186 : 0 0 1 5 4 5
187 : 0 0 1 5 5 0
188 : 0 0 1 6 0 15
189 : 0 0 1 6 1 10
190 : 0 0 1 6 2 5
191 : 0 0 1 6 3 0
192 : 0 0 1 7 0 5
193 : 0 0 1 7 1 0
194 : 0 0 2 0 0 50
195 : 0 0 2 0 1 45
196 : 0 0 2 0 2 40
197 : 0 0 2 0 3 35
198 : 0 0 2 0 4 30
199 : 0 0 2 0 5 25
200 : 0 0 2 0 6 20
201 : 0 0 2 0 7 15
202 : 0 0 2 0 8 10
203 : 0 0 2 0 9 5
204 : 0 0 2 0 10 0
205 : 0 0 2 1 0 40
206 : 0 0 2 1 1 35
207 : 0 0 2 1 2 30
208 : 0 0 2 1 3 25
209 : 0 0 2 1 4 20
210 : 0 0 2 1 5 15
211 : 0 0 2 1 6 10
212 : 0 0 2 1 7 5
213 : 0 0 2 1 8 0
214 : 0 0 2 2 0 30
215 : 0 0 2 2 1 25
216 : 0 0 2 2 2 20
217 : 0 0 2 2 3 15
218 : 0 0 2 2 4 10
219 : 0 0 2 2 5 5
220 : 0 0 2 2 6 0
221 : 0 0 2 3 0 20
222 : 0 0 2 3 1 15
223 : 0 0 2 3 2 10
224 : 0 0 2 3 3 5
225 : 0 0 2 3 4 0
226 : 0 0 2 4 0 10
227 : 0 0 2 4 1 5
228 : 0 0 2 4 2 0
229 : 0 0 2 5 0 0
230 : 0 0 3 0 0 25
231 : 0 0 3 0 1 20
232 : 0 0 3 0 2 15
233 : 0 0 3 0 3 10
234 : 0 0 3 0 4 5
235 : 0 0 3 0 5 0
236 : 0 0 3 1 0 15
237 : 0 0 3 1 1 10
238 : 0 0 3 1 2 5
239 : 0 0 3 1 3 0
240 : 0 0 3 2 0 5
241 : 0 0 3 2 1 0
242 : 0 0 4 0 0 0
243 : 0 1 0 0 0 50
244 : 0 1 0 0 1 45
245 : 0 1 0 0 2 40
246 : 0 1 0 0 3 35
247 : 0 1 0 0 4 30
248 : 0 1 0 0 5 25
249 : 0 1 0 0 6 20
250 : 0 1 0 0 7 15
251 : 0 1 0 0 8 10
252 : 0 1 0 0 9 5
253 : 0 1 0 0 10 0
254 : 0 1 0 1 0 40
255 : 0 1 0 1 1 35
256 : 0 1 0 1 2 30
257 : 0 1 0 1 3 25
258 : 0 1 0 1 4 20
259 : 0 1 0 1 5 15
260 : 0 1 0 1 6 10
261 : 0 1 0 1 7 5
262 : 0 1 0 1 8 0
263 : 0 1 0 2 0 30
264 : 0 1 0 2 1 25
265 : 0 1 0 2 2 20
266 : 0 1 0 2 3 15
267 : 0 1 0 2 4 10
268 : 0 1 0 2 5 5
269 : 0 1 0 2 6 0
270 : 0 1 0 3 0 20
271 : 0 1 0 3 1 15
272 : 0 1 0 3 2 10
273 : 0 1 0 3 3 5
274 : 0 1 0 3 4 0
275 : 0 1 0 4 0 10
276 : 0 1 0 4 1 5
277 : 0 1 0 4 2 0
278 : 0 1 0 5 0 0
279 : 0 1 1 0 0 25
280 : 0 1 1 0 1 20
281 : 0 1 1 0 2 15
282 : 0 1 1 0 3 10
283 : 0 1 1 0 4 5
284 : 0 1 1 0 5 0
285 : 0 1 1 1 0 15
286 : 0 1 1 1 1 10
287 : 0 1 1 1 2 5
288 : 0 1 1 1 3 0
289 : 0 1 1 2 0 5
290 : 0 1 1 2 1 0
291 : 0 1 2 0 0 0
292 : 0 2 0 0 0 0
293 : 1 0 0 0 0 0