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Módulo y argumento
El diagrama de Argand
Definición
Un diagrama de Argand tiene un eje horizontal, denominado eje real, y un eje vertical, denominado eje imaginario.
Un número complejo $z = a + bi$ se representa en las coordenadas $(a,b)$, ya que $a$ es la parte real del número complejo, y $b$ la parte imaginaria.
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Ejemplo trabajado
Ejemplo 1
Traza los siguientes números complejos en un diagrama de Argand.
\nComenzar{alinear} z_1 &= 3+i \\ z_2 &= -2-4i \ z_3 &=-1+3i \ z_4 &= -2i \end{align}
Solución
Módulo y argumento
Definición
Cualquier número complejo $z$ puede representarse por un punto en un diagrama de Argand. Podemos unir este punto al origen con un segmento de línea. La longitud del segmento de línea se llama módulo del número complejo y se denota $\lvert z \rvert$. El ángulo medido desde el eje real positivo al segmento de línea se llama argumento del número complejo, denotado $arg(z)$ y a menudo etiquetado como $\theta$. El módulo y el argumento pueden calcularse mediante trigonometría.
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El módulo de un número complejo $z = a + b i$ es \8013>
Al calcular el argumento de un número complejo, hay que elegir entre tomar valores en el rango $$ o en el intervalo $$. Ambos son equivalentes e igualmente válidos. En esta página utilizaremos la convención $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
La forma «ingenua» de calcular el ángulo a un punto $(a,b)$ es utilizar $\arctan(\frac{b}{a})$ pero, como $\arctan$ sólo toma valores en el rango $$, esto dará un resultado erróneo para coordenadas con componente $x$ negativo. Esto se puede solucionar sumando o restando $\pi$, dependiendo del cuadrante del diagrama de Argand en el que se encuentre el punto.
- Primer cuadrante: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
- Segundo cuadrante: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) + \pi$.
- Tercer cuadrante: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) -\pi$.
- Cuarto cuadrante: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
Es una buena idea dibujar un diagrama de Argand del número complejo a la hora de tomar la decisión sobre qué fórmula utilizar.
Nota: hay que tener cuidado con el caso en que $a=0$, es decir, el número complejo no tiene parte real. En este caso, el método $\arctan$ no funciona, pero el argumento es $\frac{pi}{2}$ o $-\frac{pi}{2}$ para números con parte imaginaria positiva y negativa, respectivamente.
Ejemplo
$z_1=1+i$ tiene el argumento \
Sin embargo, el mismo cálculo para $z_2=-1-i$ da $\arctan \left(\frac{-1}{-1}right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, ¡el mismo número!
Si dibujamos $z_2$ en un diagrama de Argand, vemos que cae en el tercer cuadrante, por lo que el argumento debe estar entre $-\frac{pi}{2}$ y $-\pi$. Debemos restar $\pi$ para corregirlo y por tanto obtener $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Ejemplos trabajados
Ejemplo 1
Hallar el módulo y el argumento del número complejo $z = 3+2i$.
Solución
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\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\aunque &=\aqrt{9+4}\aunque &=\aqrt{13} \Como el número complejo se encuentra en el primer cuadrante del diagrama de Argand, podemos usar $\arctan \frac{2}{3}$ sin modificación para encontrar el argumento.
\arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}\right) \\\aunque &=0,59 \text{{} radianes (a 2 d.p.)}
Ejemplo 2
Encuentra el módulo y el argumento del número complejo $z=4i$.
Solución
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{comienza{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\ &=\sqrt{16}\ &=4 \end{align}
La forma más sencilla de encontrar el argumento es mirar un diagrama de Argand y trazar el punto $(0,4)$. El punto se encuentra en el eje vertical positivo, por lo que \
Ejemplo 3
Encuentra el módulo y el argumento del número complejo $z = -2+5i$.
Solución
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\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\aunque &=\sqrt{4+25}\aunque &=\sqrt{29} \Como $z$ está en el segundo cuadrante del diagrama de Argand, tenemos que añadir $\pi$ al resultado obtenido de $\arctan \left(\frac{5}{-2}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}\right) + \pi \\\\aquellos que no son de la misma clase que los que son de la misma clase que los que son de la misma clase que los que son de la misma clase que los que son de la misma clase.
Ejemplo 4
Encuentra el módulo y el argumento del número complejo $z = -4-3i$.
Solución
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{comienza{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\aunque no es el caso, tenemos que restar $\pi$ al resultado de $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\right) – \pi\\ {1203>= \arctan \left(\frac{3}{4}\right) – \pi\ {1203>= 0.64 – \pi {1203>= -2.50 \text{ radianes (a 2 d.p.)} \end{align}
Nota: Como alternativa, se podría haber dado la respuesta en el rango $0 \lt \theta \lt 2\pi$, donde habríamos sumado $\pi$, en lugar de restarlo, y obtenido una respuesta de $\arg z = 3,67$ radianes (a 2 d.p.)
Ejemplo 5
Encuentra el módulo y el argumento del número complejo $z = 1-4i$.
Solución
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begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\aunque &=\aqrt{1+16}\aunque &=\aqrt{17} \Como $z$ se encuentra en el cuarto cuadrante del diagrama de Argand, no necesitamos modificar el resultado de $\arctan \left(\frac{-4}{1}\ right)$ para hallar el argumento.
\arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\right)\\a= \arctan \left(-4\right) \a= -1.33 \text{{\a} radianes (a 2 d.p.)}
Ejemplo de vídeo
El profesor Robin Johnson dibuja los números complejos $z=-1-i$ y $z=-4+3i$ en un diagrama de Argand, y encuentra su módulo y su argumento.
Libro de trabajo
Este libro de trabajo elaborado por HELM es una buena ayuda para el repaso, ya que contiene puntos clave para la revisión y muchos ejemplos trabajados.
- Diagramas de Argand y forma polar
Ponte a prueba
Ponte a prueba: Test de Numbas para encontrar el módulo y el argumento