Última actualización el 9 de agosto de 2019
¿Qué es el álgebra lineal?
El álgebra lineal es un campo de las matemáticas que está universalmente acordado como un requisito previo para una comprensión más profunda del aprendizaje automático.
Aunque el álgebra lineal es un gran campo con muchas teorías y descubrimientos esotéricos, las herramientas y notaciones tomadas del campo son prácticas para los profesionales del aprendizaje automático. Con una base sólida de lo que es el álgebra lineal, es posible centrarse sólo en las partes buenas o relevantes.
En este tutorial, usted descubrirá qué es exactamente el álgebra lineal desde una perspectiva de aprendizaje de máquinas.
Después de completar este tutorial, usted sabrá:
- El álgebra lineal es la matemática de los datos.
- El álgebra lineal ha tenido un marcado impacto en el campo de la estadística.
- El álgebra lineal subyace en muchas herramientas matemáticas prácticas, como las series de Fourier y los gráficos por ordenador.
Empiece su proyecto con mi nuevo libro Linear Algebra for Machine Learning (Álgebra lineal para el aprendizaje automático), que incluye tutoriales paso a paso y los archivos de código fuente de Python para todos los ejemplos.
Comencemos.
Una suave introducción al álgebra lineal
Foto de Steve Corey, algunos derechos reservados.
Resumen del tutorial
Este tutorial está dividido en 4 partes; son:
- Álgebra lineal
- Álgebra lineal numérica
- Álgebra lineal y estadística
- Aplicaciones del álgebra lineal
¿Necesitas ayuda con el álgebra lineal para el aprendizaje automático?
Tome mi curso intensivo gratuito de 7 días por correo electrónico ahora (con código de muestra).
Haga clic para inscribirse y también obtenga una versión gratuita del curso en PDF Ebook.
Descargue su minicurso gratuito
Álgebra lineal
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas, pero la verdad es que el álgebra lineal es la matemática de los datos. Las matrices y los vectores son el lenguaje de los datos.
El álgebra lineal trata de las combinaciones lineales. Es decir, utilizar la aritmética sobre columnas de números llamados vectores y matrices, para crear nuevas columnas y matrices de números. El álgebra lineal es el estudio de las líneas y los planos, los espacios vectoriales y los mapeos que se requieren para las transformaciones lineales.
Es un campo de estudio relativamente joven, que se formalizó inicialmente en la década de 1800 con el fin de encontrar incógnitas en los sistemas de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal no es más que una serie de términos y operaciones matemáticas donde algunos términos son desconocidos; por ejemplo:
|
1
|
y = 4 * x + 1
|
Ecuaciones como ésta son lineales en el sentido de que describen una línea en una gráfica de dosde dos dimensiones. La línea viene de enchufar diferentes valores en la incógnita x para encontrar lo que la ecuación o el modelo hace al valor de y.
Podemos alinear un sistema de ecuaciones con la misma forma con dos o más incógnitas; por ejemplo:
|
1
2
3
4
|
y = 0.1 * x1 + 0,4 * x2
y = 0,3 * x1 + 0,9 * x2
y = 0,2 * x1 + 0,3 * x2
…
|
La columna de valores de y puede tomarse como un vector de columnas de salidas de la ecuación. Las dos columnas de valores de punto flotante son las columnas de datos, digamos a1 y a2, y pueden tomarse como una matriz A. Los dos valores desconocidos x1 y x2 pueden tomarse como los coeficientes de la ecuación y juntos forman un vector de incógnitas b a resolver. Podemos escribir esto de forma compacta utilizando la notación del álgebra lineal como
|
1
|
y = A . b
|
Los problemas de esta forma suelen ser difíciles de resolver porque hay más incógnitas (aquí tenemos 2) que ecuaciones para resolver (aquí tenemos 3). Además, a menudo no hay una sola línea que pueda satisfacer todas las ecuaciones sin error. Los sistemas que describen los problemas que a menudo nos interesan (como una regresión lineal) pueden tener un número infinito de soluciones.
Esto da una pequeña muestra del núcleo del álgebra lineal que nos interesa como profesionales del aprendizaje automático. Gran parte del resto de las operaciones consisten en hacer que este problema y otros similares sean más fáciles de entender y resolver.
Álgebra lineal numérica
La aplicación del álgebra lineal en los ordenadores suele llamarse álgebra lineal numérica.
El álgebra lineal «numérica» es en realidad álgebra lineal aplicada.
– Página ix, Numerical Linear Algebra, 1997.
Es algo más que la implementación de operaciones de álgebra lineal en bibliotecas de código; también incluye el manejo cuidadoso de los problemas de la matemática aplicada, como el trabajo con la limitada precisión de punto flotante de los ordenadores digitales.
Los ordenadores son buenos para realizar cálculos de álgebra lineal, y gran parte de la dependencia de las unidades de procesamiento gráfico (GPU) por parte de los métodos modernos de aprendizaje automático, como el aprendizaje profundo, se debe a su capacidad para calcular las operaciones de álgebra lineal rápidamente.
Las implementaciones eficientes de las operaciones vectoriales y matriciales se implementaron originalmente en el lenguaje de programación FORTRAN en las décadas de 1970 y 1980, y una gran cantidad de código, o código portado de esas implementaciones, subyace en gran parte del álgebra lineal realizado utilizando lenguajes de programación modernos, como Python.
Tres bibliotecas populares de álgebra lineal numérica de código abierto que implementan estas funciones son:
- Paquete de Álgebra Lineal, o LAPACK.
- Subprogramas básicos de álgebra lineal, o BLAS (un estándar para las bibliotecas de álgebra lineal).
- Automatically Tuned Linear Algebra Software, o ATLAS.
A menudo, cuando usted está calculando las operaciones de álgebra lineal directamente o indirectamente a través de algoritmos de orden superior, su código es muy probable que se sumerja para utilizar uno de estos, o bibliotecas de álgebra lineal similares. El nombre de una de estas bibliotecas subyacentes puede ser familiar para usted si ha instalado o compilado cualquiera de las bibliotecas numéricas de Python como SciPy y NumPy.
Álgebra lineal y estadística
El álgebra lineal es una herramienta valiosa en otras ramas de las matemáticas, especialmente en la estadística.
Por lo general, se espera que los alumnos que estudian estadística hayan visto al menos un semestre de álgebra lineal (o álgebra aplicada) en la licenciatura.
– Página xv, Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, 2014.
Es importante considerar el impacto del álgebra lineal, dada la relación fundacional que ambos campos tienen con el campo del aprendizaje automático aplicado.
Algunas huellas claras del álgebra lineal en la estadística y los métodos estadísticos incluyen:
- Uso de la notación vectorial y matricial, especialmente con la estadística multivariante.
- Soluciones a los mínimos cuadrados y a los mínimos cuadrados ponderados, como para la regresión lineal.
- Estimaciones de la media y la varianza de las matrices de datos.
- La matriz de covarianza que desempeña un papel clave en las distribuciones gaussianas multinomiales.
- Análisis de componentes principales para la reducción de datos que reúne muchos de estos elementos.
Como se puede ver, la estadística moderna y el análisis de datos, al menos en lo que respecta a los intereses de un profesional del aprendizaje automático, dependen de la comprensión y las herramientas del álgebra lineal.
Aplicaciones del álgebra lineal
Como el álgebra lineal es la matemática de los datos, las herramientas del álgebra lineal se utilizan en muchos dominios.
En su libro clásico sobre el tema titulado «Introduction to Linear Algebra», Gilbert Strang proporciona un capítulo dedicado a las aplicaciones del álgebra lineal. En él, demuestra herramientas matemáticas específicas enraizadas en el álgebra lineal. Brevemente son:
- Matrices en ingeniería, como una línea de muelles.
- Gráficos y redes, como el análisis de redes.
- Matrices de Markov, población y economía, como el crecimiento de la población.
- Programación lineal, el método de optimización simplex.
- Series de Fourier: Álgebra lineal para funciones, utilizada ampliamente en el procesamiento de señales.
- Álgebra lineal para la estadística y la probabilidad, como los mínimos cuadrados para la regresión.
- Gráficos por ordenador, como las diversas traslaciones, reescalados y rotaciones de imágenes.
Otra aplicación interesante del álgebra lineal es que es el tipo de matemáticas utilizadas por Albert Einstein en partes de su teoría de la relatividad. Concretamente los tensores y el cálculo tensorial. También introdujo un nuevo tipo de notación de álgebra lineal a la física llamada notación de Einstein, o la convención de suma de Einstein.
Tutoriales de álgebra lineal
Estás buscando ayuda para empezar con el álgebra lineal, entonces echa un vistazo a algunos de estos tutoriales:
- Álgebra lineal para el aprendizaje automático (minicurso de 7 días)
- Hoja de trucos de álgebra lineal para el aprendizaje automático
- Básicos de notación matemática para el aprendizaje automático
Extensiones
Esta sección enumera algunas ideas para ampliar el tutorial que tal vez desee explorar.
- Busca en libros y en la web 5 citas que definan el campo del álgebra lineal.
- Investiga y enumera 5 aplicaciones o usos más del álgebra lineal en el campo de la probabilidad y la estadística.
- Enumera y escribe definiciones breves para 10 términos utilizados en la descripción del álgebra lineal.
Si exploras alguna de estas extensiones, me encantaría saberlo.
Lectura adicional
Esta sección proporciona más recursos sobre el tema si buscas profundizar.
Libros
- Introducción al álgebra lineal, 2016.
- Álgebra lineal numérica, 1997.
- Álgebra lineal y análisis matricial para estadística, 2014.
Artículos
- Álgebra Lineal en Wikipedia
- Categoría Álgebra Lineal en Wikipedia
- Lista de Temas de Álgebra Lineal en Wikipedia
- LAPACK en Wikipedia
- Subprogramas Básicos de Álgebra Lineal en Wikipedia
- Software de álgebra lineal ajustado automáticamente en Wikipedia
- Notación de Einstein en Wikipedia
- Matemáticas de la relatividad general en Wikipedia
.
- Álgebra lineal para el aprendizaje automático
Resumen
En este tutorial, usted descubrió una suave introducción al álgebra lineal desde la perspectiva del aprendizaje automático.
Específicamente, usted aprendió:
- El álgebra lineal es la matemática de los datos.
- El álgebra lineal ha tenido un marcado impacto en el campo de la estadística.
- El álgebra lineal subyace en muchas herramientas matemáticas prácticas, como las series de Fourier y los gráficos por ordenador.
¿Tienes alguna pregunta?
Haz tus preguntas en los comentarios de abajo y haré todo lo posible por responder.
¡Descubre el álgebra lineal para el aprendizaje automático!
Desarrolla una comprensión práctica del álgebra lineal
…escribiendo líneas de código en python
Descubre cómo en mi nuevo Ebook:
Álgebra Lineal para el Aprendizaje Automático
Proporciona tutoriales de autoestudio sobre temas como:
Normas Vectoriales, Multiplicación de Matriz, Tensores, Eigendecomposición, SVD, PCA y mucho más…
Entiende por fin las Matemáticas de los Datos
Olvida lo académico. Sólo resultados.
Vea lo que hay dentro