En matemáticas, un mapa lineal o función lineal f(x) es una función que satisface las dos propiedades:
- Aditividad: f(x + y) = f(x) + f(y).
- Homogeneidad de grado 1: f(αx) = α f(x) para todo α.
Estas propiedades se conocen como principio de superposición. En esta definición, x no es necesariamente un número real, sino que en general puede ser un elemento de cualquier espacio vectorial. Una definición más especial de función lineal, que no coincide con la definición de mapa lineal, se utiliza en matemáticas elementales (véase más adelante).
La aditividad por sí sola implica homogeneidad para α racional, ya que f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}
implica que f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}
para cualquier número natural n por inducción matemática, y entonces n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{tfrac {n}{m}x)=mf({\tfrac {n}{m}x)}
implica que f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({tfrac {n}{m}}x)={tfrac {n}{m}f(x)}
. La densidad de los números racionales en los reales implica que cualquier función continua aditiva es homogénea para cualquier número real α, y por tanto es lineal.
El concepto de linealidad puede extenderse a los operadores lineales. Ejemplos importantes de operadores lineales son la derivada considerada como un operador diferencial, y otros operadores construidos a partir de ella, como del y el laplaciano. Cuando una ecuación diferencial puede expresarse en forma lineal, generalmente puede resolverse dividiendo la ecuación en trozos más pequeños, resolviendo cada uno de esos trozos y sumando las soluciones.
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los vectores, los espacios vectoriales (también llamados «espacios lineales»), las transformaciones lineales (también llamadas «mapas lineales») y los sistemas de ecuaciones lineales.
Para una descripción de las ecuaciones lineales y no lineales, véase ecuación lineal.
Polinomios linealesEditar
En un uso diferente a la definición anterior, se dice que un polinomio de grado 1 es lineal, porque la gráfica de una función de esa forma es una línea recta.
Sobre los reales, una ecuación lineal es una de las formas:
f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\ }
donde m suele llamarse pendiente o gradiente; b la intersección en y, que da el punto de intersección entre la gráfica de la función y el eje y.
Nótese que este uso del término lineal no es el mismo que en la sección anterior, porque los polinomios lineales sobre los números reales no satisfacen en general ni la aditividad ni la homogeneidad. De hecho, lo hacen si y sólo si b = 0. Por lo tanto, si b ≠ 0, la función suele llamarse función afín (ver en mayor generalidad transformación afín).
Funciones booleanasEditar
En el álgebra booleana, una función lineal es una función f {\displaystyle f}
para la que existen a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}}en {0,1\}}.
tal que f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n)} =a_{0}\oplus (a_{1}land b_{1})\cdots \oplus (a_{n}land b_{n})}
, donde b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n} en {0,1}.}
Nótese que si a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}
, la función anterior se considera afín en el álgebra lineal (es decir, no lineal).
Una función booleana es lineal si se cumple una de las siguientes condiciones para la tabla de verdad de la función:
- En cada fila en la que el valor de verdad de la función es T, hay un número impar de Ts asignados a los argumentos, y en cada fila en la que la función es F hay un número par de Ts asignados a los argumentos. En concreto, f(F, F, …, F) = F, y estas funciones corresponden a mapas lineales sobre el espacio vectorial booleano.
- En cada fila en la que el valor de la función es T, hay un número par de Ts asignados a los argumentos de la función; y en cada fila en la que el valor de verdad de la función es F, hay un número impar de Ts asignados a los argumentos. En este caso, f(F, F, …, F) = T.
Otra forma de expresar esto es que cada variable siempre hace una diferencia en el valor de verdad de la operación o nunca hace una diferencia.
La negación, el bicondicional lógico, la or exclusiva, la tautología y la contradicción son funciones lineales.