Negación
A veces en matemáticas es importante determinar cuál es el opuesto de un enunciado matemático dado. A esto se le suele llamar «negar» un enunciado. Una cosa a tener en cuenta es que si un enunciado es verdadero, entonces su negación es falsa (y si un enunciado es falso, entonces su negación es verdadera).
Veamos algunas de las negaciones más comunes.
Negación de «A o B».
Antes de dar la respuesta, vamos a intentar hacerlo con un ejemplo.
Considera la afirmación «O eres rico o eres feliz». Para que esta afirmación sea falsa, no se puede ser rico y no se puede ser feliz. Es decir, lo contrario es no ser rico y no ser feliz. O si lo reescribimos en términos de la afirmación original obtenemos «No eres rico y no eres feliz».
Si dejamos que A sea el enunciado «Eres rico» y que B sea el enunciado «Eres feliz», entonces la negación de «A o B» se convierte en «No A y No B.»
En general, tenemos el mismo enunciado: La negación de «A o B» es el enunciado «No A y No B.»
Negación de «A y B».
De nuevo, analicemos primero un ejemplo.
Considere el enunciado «Soy a la vez rico y feliz». Para que esta afirmación sea falsa podría no ser rico o no ser feliz. Si dejamos que A sea el enunciado «Soy rico» y que B sea el enunciado «Soy feliz», entonces la negación de «A y B» se convierte en «No soy rico o no soy feliz» o «No A o No B».
Negación de «Si A, entonces B».
Para negar un enunciado de la forma «Si A, entonces B» debemos sustituirlo por el enunciado «A y No B». Esto puede parecer confuso al principio, así que vamos a echar un vistazo a un ejemplo sencillo para ayudar a entender por qué esto es lo correcto.
Considere la afirmación «Si soy rico, entonces soy feliz». Para que esta afirmación sea falsa, tendría que ser rico y no feliz. Si A es el enunciado «soy rico» y B es el enunciado «soy feliz», entonces la negación de «A $\Rightarrow$ B» es «soy rico» = A, y «no soy feliz» = no B.
Así que la negación de «si A, entonces B» se convierte en «A y no B».
Ejemplo.
Ahora consideremos un enunciado que implique algo de matemáticas. Tomemos el enunciado «Si n es par, entonces $\frac{n}{2}$ es un número entero». Para que esta afirmación sea falsa, tendríamos que encontrar un número entero par $n$ para el que $\frac{n}{2}$ no fuera un número entero. Así que lo contrario de esta afirmación es la afirmación de que «$n$ es par y $\frac{n}{2}$ no es un número entero.»
Negación de «Para todo…», «Para todos…», «Existe…»
A veces nos encontramos con frases como «para todo», «para cualquiera», «para todos» y «existe» en afirmaciones matemáticas.
Ejemplo.
Consideremos el enunciado «Para todos los enteros $n$, o bien $n$ es par o bien $n$ es impar».Aunque la redacción es un poco diferente, se trata de un enunciado de la forma «Si A, entonces B». Podemos reformular esta frase de la siguiente manera «Si $n$ es un número entero cualquiera, entonces $n$ es par o $n$ es impar.»
¿Cómo podríamos negar esta afirmación? Para que esta afirmación sea falsa, basta con encontrar un solo número entero que no sea par ni impar. En otras palabras, la negación es el enunciado «Existe un entero $n$, de modo que $n$ no es par y $n$ no es impar».
En general, cuando se niega un enunciado que implica «para todos», «para cada», la frase «para todos» se sustituye por «existe». Del mismo modo, al negar una afirmación que implique «existe», la frase «existe» se sustituye por «para todos» o «para todas».»
Ejemplo. Negar el enunciado «Si todos los ricos son felices, entonces todos los pobres están tristes».
En primer lugar, este enunciado tiene la forma «Si A, entonces B», donde A es el enunciado «Todos los ricos son felices» y B es el enunciado «Todos los pobres están tristes». Así que la negación tiene la forma «A y no B». Así que tendremos que negar B. La negación del enunciado B es «Existe una persona pobre que no está triste».
Juntando esto da: «Todas las personas ricas son felices, pero existe una persona pobre que no está triste» como la negación de «Si todas las personas ricas son felices, entonces todas las personas pobres están tristes.»
Resumen.
| Afirmación | Negación |
| «A o B» | «no A y no B» |
| «A y B» | «no A o no B» |
| «si A, entonces B» | «A y no B» |
| «Para todo x, A(x)» | «Existe x tal que no A(x)» |
| «Existe x tal que A(x)» | «Para cada x, no A(x)» |