Por Benjamin Skuse
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Separatriz de separación
Un péndulo en movimiento puede oscilar de lado a lado o girar en un círculo continuo. El punto en el que pasa de un tipo de movimiento al otro se llama separatriz, y ésta puede calcularse en la mayoría de las situaciones sencillas. Sin embargo, cuando el péndulo es empujado a una velocidad casi constante, las matemáticas se desmoronan. ¿Existe una ecuación que pueda describir ese tipo de separatriz?
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Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes, desarrolladas en 1822, se utilizan para describir el movimiento de los fluidos viscosos. Cosas como el aire que pasa por encima del ala de un avión o el agua que sale de un grifo. Pero hay ciertas situaciones en las que no está claro si las ecuaciones fallan o no dan ninguna respuesta. Muchos matemáticos han intentado -y fracasado- resolver la cuestión, entre ellos Mukhtarbay Otelbaev, de la Universidad Nacional Euroasiática de Astana (Kazajistán). En 2014, afirmó tener una solución, pero luego se retractó. Este es un problema que vale más que el prestigio. También es uno de los Problemas del Premio del Milenio, lo que significa que quien lo resuelva puede reclamar un millón de dólares de premio.
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Exponentes y dimensiones
Imagina un chorro de perfume difundiéndose por una habitación. El movimiento de cada molécula es aleatorio, un proceso llamado movimiento browniano, aunque la forma en que el gas se difunde en general es predecible. Existe un lenguaje matemático que puede describir cosas como ésta, pero no perfectamente. Puede ofrecer soluciones exactas, pero sin cumplir sus propias reglas, o puede ser estricto, pero sin llegar nunca a la solución exacta. ¿Podría marcar las dos casillas? Eso es lo que plantea el problema de los exponentes y las dimensiones. Aparte del problema de la conductancia cuántica de Hall, éste es el único de la lista que está al menos parcialmente resuelto. En el año 2000, Gregory Lawler, Oded Schramm y Wendelin Werner demostraron que se pueden encontrar soluciones exactas a dos problemas de movimiento browniano sin necesidad de doblar las reglas. Esto les valió la medalla Fields, el equivalente matemático al premio Nobel. Más recientemente, Stanislav Smirnov, de la Universidad de Ginebra (Suiza), resolvió un problema relacionado, lo que le valió la medalla Fields en 2010.
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Teoremas de imposibilidad
Hay muchas expresiones matemáticas que no tienen solución exacta. Tomemos uno de los números más famosos de la historia, pi, que es el cociente entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Demostrar que es imposible que los dígitos de pi después del punto decimal se acaben nunca fue una de las mayores contribuciones a las matemáticas. Los físicos también dicen que es imposible encontrar soluciones a ciertos problemas, como encontrar las energías exactas de los electrones que orbitan un átomo de helio. Pero, ¿podemos demostrar esa imposibilidad?
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Cristal de espín
Para entender este problema, hay que conocer el espín, una propiedad mecánica cuántica de los átomos y partículas como los electrones, que subyace al magnetismo. Puedes pensar en él como una flecha que puede apuntar hacia arriba o hacia abajo. Los electrones dentro de los bloques de materiales son más felices si se sientan junto a electrones que tienen el espín opuesto, pero hay algunas disposiciones en las que eso no es posible. En estos imanes frustrados, los espines suelen girar al azar de una manera que, resulta ser un modelo útil de otros sistemas desordenados, incluidos los mercados financieros. Pero tenemos formas limitadas de describir matemáticamente cómo se comportan estos sistemas. Esta pregunta sobre el cristal giratorio pregunta si podemos encontrar una buena manera de hacerlo.
– Ver la lista completa de problemas sin resolver: Problemas abiertos en física matemática
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