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微分と引数
アーガンド図
定義
アーガンド図には、実軸と呼ばれる横軸と虚軸と呼ばれる縦軸があります。
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作例
作例1
次の複素数をアルガンド図にプロットせよ。
◇begin{align} z_1 &= 3+i ◇z_2 &= -2-4i ◇z_3 &=-1+3i ◇z_4 &= – ◇z_3 &= -2i \end{align}
解答
剰余と引数
定義
任意の複素数$z$はアルガンド図上の点により表すことができる。 この点と原点を線分で結ぶことができる。 線分の長さを複素数の係数といい、$lvert z \rvert$と表記する。 正の実軸から線分までの角度を複素数の引数といい、$arg(z)$と表し、$Θta$と表記されることが多い。 8013>
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複素数$z = a + b i$のモジュールは、
複素数の引数は、$$または$の範囲に値を取るかの選択をしなければならない。 どちらも等価であり、同じように有効です。 このページでは、$-pi ↵theta ↵pi$という表記を使います。
ある点$(a,b)$に対する角度の計算で「素朴な」方法としては、$arctan(the \frac{b}{a})$ がありますが、$arctan$は$$の範囲の値のみを取るので、$x$成分が負の座標に対しては間違った結果を与えてしまいます。
- First quadrant: $theta = \arctan \left(\drac{b}{a}right)$.
- Second quadrant: $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}right) + \pi$.
- Third quadrant: $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}right) -\pi$.The Third quarterrants: $thanka = \pi$.Third quarterrants: $theta = \arctan \left(|frac{b}{a}{c}) + \pi$.
- 第四象限： $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}}right)$.
どの式を使うか判断するときは、複素数のアーガンド図を描くと良い。
注意： $a=0$ つまり複素数が実部を持たない場合は注意が必要である。 この場合、$arctan$メソッドは使えませんが、引数はそれぞれ正の虚数部と負の虚数部を持つ数に対して$thesfrac{pi}{2}$または$-thesfrac{pi}{2}$を指定することができます。
例題
$z_1=1+i$ は引数として \ を持ちます
しかし、 $z_2=-1-i$ に対して同じ計算をすると $arrctan \left(\frac{-1}{-1}right) = \arctan (1) = \dfrac{pi}{4}$ と、同じ数になってしまいました！これは、$arcantan=1+i$ と、$z_2=1-i$ と、$arctan(1)=1+i$ と、同じ数になってしまったからなのです。
アーガンド図に$z_2$を描くと、第3象限に入ることがわかりますので、引数は$-Θfrac{Θpi}{2}$と$-Θpi$の間にあるはずです。 これを修正するために$pi$を引く必要があるので、$arg z_2 = -93dfrac{3}pi}{4}$ となります。
Worked Examples
Example 1
複素数$z = 3+2i$のモジュラスと引数を求めなさい。
解答
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beneguin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2} &=Âsqrt{9+4} UNEP UNEP &=Âsqrt{13｝ \୧⃛(๑⃙⃘⁼̴̀꒳⁼̴́๑⃙⃘) \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}right) \ &=0.59 \text{ radians (to 2 d.p.)}. \⑯
例題2
複素数$z=4i$の係数と引数を求めよ
解
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胤{align}begin} ⑯
{2466> {3260>
胤{align}
引数の求め方としては、Argand diagramを見て、点$(0,4)$をプロットすると簡単でしょう。 この点は正の縦軸上にあるので、Ⓐ
例題3
複素数$z=-2+5i$の係数と引数を求めよ。
解
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ベギン{アライン}の項参照。 \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\ &=Âsqrt{4+25}\ &=Âsqrt{29} ¡Âsqrt{29} ¡Âsqrt{25} ¡Âsqrt{29 \end{align}
$z$がArgand diagramの第2象限にあるので、$arctan \left(\frac{5}{-2}right)$ から得られる結果に$pi$を加える必要があります。 \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}right) + \pi &=-1.19 + \pi &= 1.95 \text{ radians (to 2 d.p)} ←今ここ。 \୧⃛(๑⃙⃘◡̈๑⃙⃘)୨⃛
Example 4
Find the modulus and argument of complex number $z = -4-3i$.
Solution
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\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}} &=Âsqrt{16+9} &=Âsqrt{25} &=5 \end{align}
As $z$ lies in third quadrant of Argand diagram, arctan \left(\frac{-3}{-4}) $の結果から$pi$を引く必要があります。
begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}right) – \pi &= \arctan \left(\frac{3}{4}right) – \pi &= 0.64 – \pi &= -2.50 \text{ radians (to 2 d.p.)}. p.)
例題5
複素数$z = 1-4i$ の剰余と引数を求めよ。
解
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◇begin{align}◇ ◇ ◇Base1 \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\ &=Âsqrt{1+16}\ &=Âsqrt{17} \⑯end{align}
$z$がArgand diagramの第4象限にあるので、$arctan \left(\frac{-4}{1}right)$ の結果を修正しなくても引数を求めることができる
begin{align｝ \╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎╱︎ଘ⃛╱⃛╱⃛╱⃛╱⃛ଘ⃛╱⃛ଓ \⑭ビデオ例題
ロビン・ジョンソン教授は、複素数 $z=-1-i$ と $z=-4+3i$ をアルガンド図上に描き、そのモジュラスと引数を求めます。
ワークブック
HELMが制作したこのワークブックは、改訂のためのキーポイントと多くの作業例を含んでおり、良い改訂支援となります。
- Argand diagrams and polar form
Test Yourself
自分でテストをするのです。 Numbasのテストでは、モジュラスと引数を見つけること
。