否定
数学では、与えられた数学の文の反対語が何であるかを決定することが重要な場合がある。 これは通常「否定」と呼ばれる。 注意点としては、ある文が真であれば、その否定は偽である（ある文が偽であれば、その否定は真）ことです。
最も一般的な否定をいくつか見てみましょう。 答えを出す前に、例題でやってみましょう。
“You are either rich or happy.” という文を考えてみてください。 この文が偽であるためには、あなたは金持ちであることも、幸せであることもできません。 言い換えれば、その反対は、金持ちでもなく、幸せでもないことです。 あるいは、元の文に書き換えると、”You are not rich and not happy. “となります。
「あなたは金持ちである」という文をA、「あなたは幸せである」という文をBとすると、「AまたはB」の否定は「AでもなくBでもない」となる。 AまたはB」の否定は「AでもなくBでもない」という文になる
。
もう一度、最初に例を分析しましょう。
“I am both rich and happy. “という文を考えてみましょう。 この文が偽であるためには、私は金持ちでないか、幸せでないかのどちらかである可能性があります。 私は金持ちだ」という文をA、「私は幸せだ」という文をBとすると、「AとB」の否定は「私は金持ちでも幸せでもない」または「AでもBでもない」となります。
「もしAならB」の否定
「もしAならB」という形の文を否定するには、「AかつBでない」という文に置き換える必要があります。
“If I am rich, then I am happy. “という文を考えてみましょう。 この文が偽であるためには、私は金持ちで幸せでない必要があります。 Aを「私は金持ちだ」という文、Bを「私は幸せだ」という文とすると、「A $Rightarrow$ B」の否定は「私は金持ちだ」＝A、「私は幸せではない」＝Bではない、
つまり「もしAならB」の否定は「AかつBではない」となる、
例題。
さて、今度は数学が絡む文を考えてみましょう。 “If n is even, then $frac{n}{2}$ is an integer.” という文を例にとります。 この文が偽であるためには、$frac{n}{2}$が整数でない偶数の整数$n$を見つける必要があります。 つまり、この文の反対は、「$n$は偶数であり、$frac{n}{2}$は整数ではない」という文です。
「For every …」「For all …」「There exists …」の否定
数学の記述で「For every」「For any」「Forall」「There exists」などのフレーズに出会うことがありますが、
例として、「For every」を否定している例を挙げます。
「すべての整数$n$について、$n$が偶数か$n$が奇数のどちらか」という文を考えてみましょう。言い回しは少し違いますが、これは “If A, then B.” という形の文になります。 この文章を次のように言い換えることができます。 “If $n$ is any integer, then either $n$ is even or $n$ is odd.”
How would we negate this statement? この文が偽であるためには、偶数でもなく奇数でもない整数を1つ見つければよいのです。 つまり、「$n$が偶数でもなく奇数でもないように、$n$という整数が存在する」という否定になります。 同様に、”there exists” を含む文を否定するとき、”there exists” のフレーズは “for every” または “for all” に置き換えられる。
例。 “If all rich people are happy, then all poor people are sad.” という文を否定する。
まず、この文は “If A, then B” という形式を持ち、Aは “All rich people are happy” という文、Bは “All poor people are sad” という文である。 ですから、否定は “A and not B” という形になっています。 そこでBを否定する必要が出てきますが、Bという文の否定は “悲しくない貧乏人は存在する “です。
これをまとめると、こうなります。 “All rich people are happy, but there exists a poor person that is not sad” を “If all rich people are happy, then all poor people are sad” の否定として、
まとめました。
| ステートメント | 否定 |
| “A or B” | “not A and not B” |
| “A and B” “not A or not B” | |
| “if A, then B” | “A and not B” |
| “すべてのxについて、A（x）” | “A(x)でないようなxが存在する” |
| “A(x)が存在するようなxが存在する” | 「すべてのxについて、not A(x) 」 |