数学では、線形マップまたは線形関数 f(x) は、次の2つの特性を満たす関数です：
- 加法性： f(x + y) = f(x) + f(y).
- 次数1の同次性：すべてのαに対してf(αx) = α f(x).
これらの性質は重ね合わせの原理として知られています。 この定義では、xは必ずしも実数である必要はなく、一般に任意のベクトル空間の要素であり得る。 線形写像の定義と一致しない、より特殊な線形関数の定義が初等数学で用いられている（後述）。
加法性だけでは、f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)} なので、有理αの均質性が暗示される。
implies f ( n x ) = n f ( x ) {displaystyle f(nx)=nf(x)} とすることができる。
数学的帰納法により任意の自然数nについて、n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{Thrac {n}{m}x)=mf({Thrac {n}{m}x)}} が成立し、その結果、nf ( x ) = f(nx)= f(m {Threshold{M}}x}}} {displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{Threshold{M}x}}}} が成立する。
implies f ( n m x ) = n m f ( x ) {displaystyle f({ {}tfrac {n}{m}}x)={}tfrac {n}{m}}f(x)} } ←クリックすると拡大します。
. 実数における有理数の密度は、加法的連続関数が任意の実数αに対して同次であることを意味し、したがって線形である。
線形性の概念は線形作用素に拡張することができる。 線形作用素の重要な例として、微分作用素とみなされる微分や、そこから構成される他の作用素、例えばdelやラプラシアンなどがある。
線形代数は、ベクトル、ベクトル空間（「線形空間」ともいう）、線形変換（「線形写像」ともいう）、および線形方程式系を研究する数学の一分野である。
線形多項式編集
上の定義とは異なる用法として、次数1の多項式は、その形の関数のグラフが直線であることから、線形であると言われる。
Over the reals, a linear equation is one of the forms:
f ( x ) = m x + b {displaystyle f(x)=mx+b }.
ここで、m はしばしば傾きまたは勾配と呼ばれ、b は y 切片で、関数のグラフと y 軸の交点を与えます。
実数上の線形多項式は一般に加法性や均質性を満たさないので、この線形という言葉の使用法は上のセクションとは異なることに注意。 したがって、b≠0の場合、その関数はしばしばアフィン関数と呼ばれる（より一般的にはアフィン変換を参照）。
ブール関数Edit
In Boolean algebra, a linear function is a function f {displaystyle f}.
for that exist a 0 , a 1 , … , a n∈{ 0 , 1 } {displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n} in \{0,1}} } }.
such that f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ( a n ∧ b n ) {displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}plus (a_{1} ランドの b_{1})\plus (a_{n} ランドの b_{n})} } ⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖⊖
, ここで b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}in \{0,1}}.} ｛Displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}in ｛0,1}｝｝ .
Note that if a 0 = 1 {displaystyle a_{0}=1}.
, 上記の関数は線形代数ではアフィン（＝線形ではない）とみなされる。
Boolean function is linear if one of the following holds for the function’s truth table:
- 関数の真理値がTである全ての行で、引数に割り当てられたTが奇数であり、関数がFである全ての行で、引数に割り当てられたTが偶数である。 具体的には、f(F, F, …, F) = Fであり、これらの関数はブールベクトル空間上の線形写像に相当する。
- 関数の値がTであるすべての行で、関数の引数に偶数のTが割り当てられ、関数の真の値がFであるすべての行で、引数に奇数のTが割り当てられる。 この場合、f(F, F, …, F) = T.
別の表現として、各変数は常に演算の真理値に差をつけるか、決して差をつけません。
否定、論理二条件、排他的論理、トートロジー、矛盾は線形関数である
。