By Benjamin Skuse
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セパラトリクス分離
運動中の振り子は左右に振ったり連続した輪になって回ることがあります。 それが1種類の運動からもう1種類の運動になる点をセパラトリクスといい、これはほとんどの簡単な状況で計算することができる。 しかし、振り子がほぼ一定の速度で突かれると、数学は崩壊してしまいます。 そのようなセパラトリックスを記述できる方程式はあるのでしょうか？
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Navier-Stokes
1822 に開発されたナビエ・ストークス方程式は粘性流体の運動を表現するのに、使用されている方程式です。 航空機の翼の上を通過する空気や、蛇口から流れ出る水のようなものです。 しかし、この方程式が破綻しているのか、まったく答えが出ないのか、はっきりしない状況もある。 カザフスタンのアスタナにあるユーラシア国立大学のムフタルベイ・オテルバエフをはじめ、多くの数学者がこの問題を解決しようと試み、そして失敗している。 2014年、彼は解決策を主張したが、後にそれを撤回した。 これは単なる威信以上の価値がある問題のひとつだ。
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Exponents and dimensions
部屋中に香水の一吹き分が拡散していると想像してください。 各分子の動きはランダムで、ブラウン運動と呼ばれるプロセスですが、たとえガスが全体に漂う様子は予測可能であってもです。 このようなことを表現できる数学の言語があるのですが、完璧ではありません。 自分のルールを曲げて正確な解を出すこともできるし、厳密なまま正確な解に到達することもない。 その両方を満たすことはできるのだろうか？ これが指数と次元の問題である。 量子ホールコンダクタンス問題を除けば、この問題はリストの中で唯一、少なくとも部分的に解決された問題である。 2000年、グレゴリー・ローラー、オデッド・シュラム、ヴェンデリン・ヴェルナーは、ブラウン運動における2つの問題の厳密解が、規則を曲げることなく見つけられることを証明した。 この証明によって、彼らはフィールズ賞（ノーベル賞に相当する数学賞）を受賞した。
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Impossibility theorems
正確な解がない数式は数多く存在します。 最も有名な数の 1 つ、円の円周と直径の比であるπを例に挙げてみましょう。 πの小数点以下の桁が永遠に終わらないことを証明したのは、数学への最大の貢献の一つでした。 物理学者も同様に、ヘリウム原子の周りを回る電子の正確なエネルギーを求めるなど、特定の問題に対する解を見つけることは不可能だと言っている。 しかし、その不可能性を証明することはできるでしょうか。
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Spin glass
この問題を理解するには、スピンについて知る必要があります。これは原子や電子などの粒子の量子力学の特性で、磁気の基礎になるものです。 スピンは、上にも下にも向く矢印のようなものだと考えていただければよいでしょう。 物質のブロックの中にある電子は、反対のスピンを持つ電子と隣り合っているのが最も好ましいのですが、それが不可能な配置もあります。 このようなフラストレーション磁石では、スピンがランダムに反転することが多く、金融市場を含む他の無秩序なシステムのモデルとして有用であることがわかった。 しかし、このような系の振る舞いを数学的に記述する方法は限られている。 このスピングラスの問題は、それを行う良い方法を見つけられるかどうかを問うものです。
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