Toggle Main MenuToggle Search
Modulus és argumentum
A Argand-diagram
Definíció
Az Argand-diagramnak van egy vízszintes tengelye, amelyet valós tengelynek nevezünk, és egy függőleges tengelye, amelyet imaginárius tengelynek nevezünk.
A $z = a + bi$ komplex számot a $(a,b)$ koordinátákon ábrázoljuk, mivel $a$ a komplex szám valós része, $b$ pedig a képzetes része.
|center
Munkapélda
Példa 1
A következő komplex számokat ábrázoljuk egy Argand-diagramon.
\begin{align} z_1 &= 3+i \\\ z_2 &= -2-4i \\\ z_3 &=-1+3i \\\ z_4 &= -2i \end{align}
megoldás
Modulus és argumentum
Definíció
Minden $z$ komplex szám ábrázolható az Argand-diagram egy pontjával. Ezt a pontot az origóhoz egy vonalszakasszal köthetjük. A vonalszakasz hosszát a komplex szám modulusának nevezzük, és $\lvert z \rvert$-nek jelöljük. A pozitív valós tengelytől a vonalszakaszhoz mért szöget a komplex szám argumentumának nevezzük, amelyet $arg(z)$-nak és gyakran $\theta$-nak jelölünk. A modulus és az argumentum trigonometria segítségével számítható ki.
|center
A $z = a + b i$ komplex szám modulusa \
A komplex szám argumentumának kiszámításakor választani kell, hogy a $$ vagy a $$ tartományban veszünk-e értéket. Mindkettő egyenértékű és egyformán érvényes. Ezen az oldalon a $-\pi \lt \theta \lt \pi$ konvenciót fogjuk használni.
A $(a,b)$ ponthoz tartozó szög kiszámításának “naiv” módja a $\arctan(\frac{b}{a})$ használata, de mivel a $\arctan$ csak a $$ tartományban vesz fel értékeket, ez negatív $x$-komponensű koordináták esetén rossz eredményt ad. Ezt $\pi$ hozzáadásával vagy kivonásával javíthatjuk, attól függően, hogy az Argand-diagram melyik kvadránsában van a pont.
- Első kvadráns: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
- Második kvadráns: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) + \pi$.
- Harmadik kvadráns: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) -\pi$.
- Negyedik kvadráns: $\theta = \arctan \leftan(\dfrac{b}{a}\right)$.
A komplex szám Argand-diagramját érdemes megrajzolni, amikor eldöntjük, hogy melyik képletet használjuk.
Megjegyzés: vigyázzunk arra az esetre, amikor $a=0$, azaz a komplex számnak nincs valós része. Ebben az esetben a $\arctan$ módszer nem működik, de az argumentum vagy $\frac{\pi}{2}$ vagy $-\frac{\pi}{2}$ a pozitív, illetve negatív képzetes résszel rendelkező számok esetében.
Példa
$z_1=1+i$ argumentuma \
Viszont ugyanez a számítás $z_2=-1-i$ esetén $\arctan \left(\frac{-1}{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, ugyanazt a számot adja!
Ha $z_2$-t berajzoljuk egy Argand-diagramra, láthatjuk, hogy a harmadik kvadránsba esik, tehát az argumentumnak $-\frac{\pi}{2}$ és $-\pi$ között kell lennie. Ennek korrigálásához $\pi$-t kell kivonnunk, így kapjuk $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Munkapéldák
Példa 1
Keresd meg a $z = 3+2i$ komplex szám modulusát és argumentumát.
megoldás
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\\ &=\sqrt{9+4}\\\ &=\sqrt{13} \end{align}
Mivel a komplex szám az Argand-diagram első kvadránsában fekszik, a $\arctan \frac{2}{3}$-t módosítás nélkül használhatjuk az argumentum megtalálásához.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}\right) \\\ &=0.59 \text{ radián (2 d.p.)} \end{align}
Példa 2
Keresd meg a $z=4i$ komplex szám modulusát és argumentumát.
megoldás
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\\\ &=\sqrt{16}\\\ &=4 \end{align}
Az argumentum megtalálásának legegyszerűbb módja, ha megnézünk egy Argand-diagramot, és a $(0,4)$ pontot ábrázoljuk. A pont a pozitív függőleges tengelyen fekszik, tehát \
3. példa
Keresd meg a $z = -2+5i$ komplex szám modulusát és argumentumát.
megoldás
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\\\ &=\sqrt{4+25}\\\ &=\sqrt{29} \end{align}
Mivel $z$ az Argand-diagram második kvadránsában van, a $\arctan \left(\frac{5}{-2}\right)$-ból kapott eredményhez hozzá kell adnunk $\pi$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}\right) + \pi \\\ &=-1.19 + \pi \\\ &= 1.95 \text{ radián (2 d.p.)} \end{align}
Példa 4
Keresd meg a $z = -4-3i$ komplex szám modulusát és argumentumát.
megoldás
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\\ &=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align}
Mivel $z$ az Argand-diagram harmadik kvadránsában fekszik, $\pi$-t ki kell vonnunk a $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$ eredményéből.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\right) – \pi\\ &= \arctan \left(\frac{3}{4}\right) – \pi\\ &= 0.64 – \pi \\\ &= -2.50 \text{ radián (2 d.p.)} \end{align}
Megjegyzés: Alternatívaként a választ megadhattuk volna a $0 \lt \theta \lt 2\pi$ tartományban is, ahol a kivonás helyett hozzáadtuk volna a $\pi$-t, és a válasz $\arg z = 3.67$ radián (2 d.p.-re) lett volna.p.)
5. példa
Keresd meg a $z = 1-4i$ komplex szám modulusát és argumentumát.
megoldás
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\\\ &=\sqrt{1+16}\\\ &=\sqrt{17} \end{align}
Mivel $z$ az Argand-diagram negyedik kvadránsában fekszik, nem kell módosítanunk a $\arctan \left(\frac{-4}{1}\right)$ eredményét, hogy megtaláljuk az argumentumot.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\right)\\\ &= \arctan \left(-4\right) \\\ &= -1.33 \text{ radián (2 d.p.)} \end{align}
Videópélda
Prof. Robin Johnson berajzolja a $z=-1-i$ és $z=-4+3i$ komplex számokat egy Argand-diagramra, és megállapítja modulusukat és argumentumukat.
Munkafüzet
Ez a HELM által készített munkafüzet jó ismétlési segédlet, tartalmazza az ismétléshez szükséges legfontosabb pontokat és sok kidolgozott példát.
- Argand-diagramok és poláris forma
Teszteld magad
Teszteld magad! Numbás teszt a modulus és az argumentum megtalálására