Negáció
A matematikában néha fontos meghatározni, hogy mi az ellentéte egy adott matematikai állításnak. Ezt általában egy állítás “negálásaként” szokták emlegetni. Azt kell szem előtt tartani, hogy ha egy állítás igaz, akkor a negációja hamis (és ha egy állítás hamis, akkor a negációja igaz).
Nézzünk meg néhányat a leggyakoribb negációk közül.
A “A vagy B” negációja.
Mielőtt megadnánk a választ, próbáljuk meg ezt egy példán keresztül megtenni.
Lássuk a következő állítást: “Vagy gazdag vagy boldog vagy”. Ahhoz, hogy ez az állítás hamis legyen, nem lehetsz gazdag és nem lehetsz boldog. Más szóval, az ellentéte az, hogy nem vagy gazdag és nem vagy boldog. Vagy ha átírjuk az eredeti állítást, akkor azt kapjuk: “Nem vagy gazdag és nem vagy boldog”.
Ha A legyen a “Gazdag vagy” állítás, B pedig a “Boldog vagy” állítás, akkor az “A vagy B” tagadása “Nem A és nem B” lesz: Az “A vagy B” negációja a “Nem A és nem B” állítás.”
A és B negációja.
Még egyszer elemezzünk először egy példát.
Mondjuk a következő állítást: “Gazdag és boldog vagyok”. Ahhoz, hogy ez az állítás hamis legyen, vagy nem vagyok gazdag, vagy nem vagyok boldog. Ha A legyen a “gazdag vagyok” állítás, B pedig a “boldog vagyok” állítás, akkor az “A és B” tagadása “Nem vagyok gazdag vagy nem vagyok boldog” vagy “Nem A vagy Nem B” lesz.
A “Ha A, akkor B” tagadása.
A “Ha A, akkor B” alakú állítás negálásához az “A és nem B” állítással kell helyettesítenünk. Ez elsőre zavarosnak tűnhet, ezért nézzünk meg egy egyszerű példát, hogy megértsük, miért ez a helyes eljárás.
Mondjuk a “Ha gazdag vagyok, akkor boldog vagyok” állítást. Ahhoz, hogy ez az állítás hamis legyen, gazdagnak kellene lennem, és nem boldognak. Ha A a “gazdag vagyok” állítás és B a “boldog vagyok” állítás, akkor az “A $\Rightarrow$ B” negációja: “gazdag vagyok” = A, és “nem vagyok boldog” = nem B.
A “ha A, akkor B” negációja tehát “A és nem B” lesz.
Példa.
Most nézzünk egy olyan állítást, amely némi matematikával kapcsolatos. Vegyük a “Ha n páros, akkor $\frac{n}{2}$ egész szám” állítást. Ahhoz, hogy ez az állítás hamis legyen, találnunk kellene egy olyan páros egész számot $n$, amelyre $\frac{n}{2}$ nem egész szám. Tehát ennek az állításnak az ellentéte az az állítás, hogy “$n$ páros és $\frac{n}{2}$ nem egész szám.”
A “Mindenre …”, “Mindenre …”, “Létezik …”
Néha találkozunk olyan kifejezésekkel, mint a “mindenre”, “mindenre”, “mindenre” és “létezik” matematikai állításokban.
Példa.
Lássuk a “Minden $n$ egész számra vagy $n$ páros, vagy $n$ páratlan.” Bár a megfogalmazás egy kicsit más, ez egy “Ha A, akkor B” formájú állítás. Ezt a mondatot a következőképpen fogalmazhatjuk át: “Ha $n$ egy tetszőleges egész szám, akkor $n$ vagy páros, vagy $n$ páratlan.”
Hogyan tagadnánk ezt az állítást? Ahhoz, hogy ez az állítás hamis legyen, csak egyetlen olyan egész számot kellene találnunk, amely nem páros és nem páratlan. Más szóval, a negáció a következő állítás: “Létezik egy olyan egész szám $n$, hogy $n$ nem páros és $n$ nem páratlan.”
Az “mindenre”, “mindenre” kijelentést tartalmazó állítások negációjakor általában a “mindenre” kifejezést a “létezik” kifejezéssel helyettesítjük. Hasonlóképpen, amikor egy “létezik” kijelentés tagadásakor a “létezik” kifejezés helyébe a “mindenre” vagy “mindenre” lép.”
Példa. Negáljuk a “Ha minden gazdag ember boldog, akkor minden szegény ember szomorú” állítást.
Ez az állítás először is a “Ha A, akkor B” formájú, ahol A az “Minden gazdag ember boldog” állítás, B pedig az “Minden szegény ember szomorú” állítás. Tehát a tagadásnak az “A és nem B” alakja van. Tehát meg kell tagadnunk B-t. A B állítás negációja a következő: “Létezik olyan szegény ember, aki nem szomorú”.
Ezt összerakva adódik: “Minden gazdag ember boldog, de létezik olyan szegény ember, aki nem szomorú”, mint a “Ha minden gazdag ember boldog, akkor minden szegény ember szomorú.”
Összegzés.
| Állítás | Negáció |
| “A vagy B” | “nem A és nem B” |
| “A és B” | “nem A vagy nem B” |
| “ha A, akkor B” | “A és nem B” |
| “Minden x-re, A(x)” | “Van olyan x, hogy nem A(x)” |
| “Van olyan x, hogy A(x)” | “Minden x-re van olyan, hogy nem A(x)” |