Linearitás

A matematikában a lineáris leképezés vagy lineáris függvény f(x) olyan függvény, amely kielégíti a következő két tulajdonságot:

• Additivitás: f(x + y) = f(x) + f(y).
• 1. fokú homogenitás: f(αx) = α f(x) minden α-ra.

Ezeket a tulajdonságokat szuperpozíciós elvnek nevezzük. Ebben a definícióban x nem feltétlenül valós szám, hanem általában bármely vektortér eleme lehet. A lineáris függvénynek egy speciálisabb definícióját, amely nem esik egybe a lineáris leképezés definíciójával, az elemi matematikában használják (lásd alább).

Az adalékolás önmagában is feltételezi a homogenitást racionális α esetén, mivel f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}

implikálja f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}

bármely n természetes számra matematikai indukcióval, és akkor n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}}x)}

implikálja f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}}x)={\tfrac {n}{m}}}f(x)}

. A racionális számok sűrűsége a valós számokban azt jelenti, hogy bármely additív folytonos függvény bármely α valós számra homogén, tehát lineáris.

A linearitás fogalma kiterjeszthető a lineáris operátorokra is. A lineáris operátorok fontos példái közé tartozik a differenciáloperátornak tekintett derivált és az abból konstruált más operátorok, mint például a del és a Laplace. Ha egy differenciálegyenlet lineárisan kifejezhető, akkor általában megoldható az egyenlet kisebb darabokra bontásával, az egyes darabok megoldásával és a megoldások összegzésével.

A lineáris algebra a matematikának az az ága, amely a vektorok, vektortérségek (más néven “lineáris terek”), lineáris transzformációk (más néven “lineáris leképezések”) és lineáris egyenletrendszerek tanulmányozásával foglalkozik.

A lineáris és nemlineáris egyenletek leírását lásd lineáris egyenlet.

Lineáris polinomokSzerkesztés

A fenti definíciótól eltérő használatban az 1. fokú polinomot lineárisnak mondjuk, mert az ilyen alakú függvény grafikonja egyenes.

A valós számok felett a lineáris egyenlet a következő formák egyike:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\ }

ahol m-t gyakran meredekségnek vagy gradiensnek nevezik; b az y-intercept, ami a függvény grafikonja és az y-tengely metszéspontját adja meg.

Megjegyezzük, hogy a lineáris kifejezésnek ez a használata nem azonos a fenti részben leírtakkal, mert a valós számok feletti lineáris polinomok általában nem felelnek meg sem az additivitásnak, sem a homogenitásnak. Valójában akkor és csak akkor, ha b = 0. Ezért ha b ≠ 0, a függvényt gyakran affin függvénynek nevezik (lásd általánosabban affin transzformáció).

Boole-függvényekSzerkesztés

A Boole-algebrában a lineáris függvény egy f {\displaystyle f} függvény.

amelyre létezik a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}}

úgy, hogy f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}

, ahol b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle b_1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}

Megjegyezzük, hogy ha a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}

, akkor a fenti függvény a lineáris algebrában affinnak tekinthető (azaz nem lineáris).

Egy Boole-függvény lineáris, ha a függvény igazságtáblájára az alábbiak egyike érvényes:

1. Minden olyan sorban, amelyben a függvény igazságértéke T, az argumentumokhoz páratlan számú Ts van rendelve, és minden olyan sorban, amelyben a függvény F, az argumentumokhoz páros számú Ts van rendelve. Pontosabban f(F, F, F, …, F) = F, és ezek a függvények megfelelnek a Boole-vektortér feletti lineáris leképezéseknek.
2. Minden olyan sorban, amelyben a függvény igazságértéke T, a függvény argumentumaihoz páros számú Ts van rendelve, és minden olyan sorban, amelyben a függvény igazságértéke F, az argumentumokhoz páratlan számú Ts van rendelve. Ebben az esetben f(F, F, F, …, F) = T.

Egy másik kifejezési mód, hogy minden változó mindig különbséget tesz a művelet igazságértékében, vagy soha nem tesz különbséget.

A tagadás, a logikai bikondíció, a kizárólagos vagy, a tautológia és az ellentmondás lineáris függvények.