Finom bevezetés a lineáris algebrába

Most frissítve: 2019. augusztus 9.

Mi a lineáris algebra?

A lineáris algebra a matematika egy olyan területe, amelyről általánosan elfogadott, hogy előfeltétele a gépi tanulás mélyebb megértésének.

Noha a lineáris algebra egy nagy terület, sok ezoterikus elmélettel és megállapítással, a területről vett dióhéj eszközök és jelölések praktikusak a gépi tanulás gyakorlói számára. Ha szilárd alapokon áll, hogy mi is az a lineáris algebra, akkor csak a jó vagy releváns részekre lehet összpontosítani.

Ezzel a bemutatóval felfedezheti, hogy mi is pontosan a lineáris algebra a gépi tanulás szempontjából.

A bemutató elvégzése után tudni fogja:

• A lineáris algebra az adatok matematikája.
• A lineáris algebra jelentős hatással volt a statisztika területére.
• A lineáris algebra számos gyakorlati matematikai eszköz, például a Fourier-sorozatok és a számítógépes grafika alapja.

Kezdje el projektjét új könyvemmel, a Linear Algebra for Machine Learning című könyvvel, amely lépésről lépésre bemutató útmutatókat és az összes példa Python forráskódfájlját tartalmazza.

Lássunk hozzá.

Tananyag áttekintése

Ez a tananyag 4 részre oszlik; ezek a következők:

1. Lineáris algebra
2. Numerikus lineáris algebra
3. Lineáris algebra és statisztika
4. A lineáris algebra alkalmazásai

Segítségre van szüksége a Lineáris algebra a gépi tanuláshoz?

Vegye fel most a 7 napos ingyenes e-mailes gyorstalpaló tanfolyamomat (mintakóddal).

Kattintson a feliratkozáshoz, és kapja meg a tanfolyam ingyenes PDF Ebook változatát is.

Töltse le az INGYENES minitanfolyamát

Lineáris algebra

A lineáris algebra a matematika egyik ága, de az igazság az, hogy a lineáris algebra az adatok matematikája. A mátrixok és a vektorok az adatok nyelve.

A lineáris algebra a lineáris kombinációkról szól. Vagyis a vektoroknak nevezett számoszlopokon és mátrixoknak nevezett számtömbökön végzett aritmetikai műveletek felhasználása új számoszlopok és számtömbök létrehozására. A lineáris algebra a lineáris transzformációkhoz szükséges egyenesek és síkok, vektorterek és leképezések tanulmányozása.

Viszonylag fiatal tudományterület, amelyet először az 1800-as években formalizáltak, hogy lineáris egyenletrendszerek ismeretlenjeit megtalálják. Egy lineáris egyenlet nem más, mint kifejezések és matematikai műveletek sorozata, ahol egyes kifejezések ismeretlenek; pl:

Az ilyen egyenletek lineárisak abban az értelemben, hogy egy egyenest írnak le a két-kétdimenziós gráfot írnak le. Az egyenes úgy jön létre, hogy az ismeretlen x-be különböző értékeket dugunk be, hogy megtudjuk, mit tesz az egyenlet vagy a modell az y értékével.

Két vagy több ismeretlennel azonos alakú egyenletrendszert állíthatunk sorba; például:

Az y értékek oszlopát az egyenlet kimeneti oszlopvektorának vehetjük. A lebegőpontos értékek két oszlopa az adatoszlopok, mondjuk a1 és a2, és vehetjük A mátrixnak. A két ismeretlen érték x1 és x2 az egyenlet együtthatóinak vehető, és együttesen alkotják a megoldandó b ismeretlenek vektorát. Ezt lineáris algebrai jelöléssel tömören így írhatjuk fel:

Az ilyen formájú problémákat általában nehéz megoldani, mert több az ismeretlen (itt 2), mint a megoldandó egyenlet (itt 3). Továbbá gyakran nincs egyetlen olyan egyenlet sem, amely hiba nélkül kielégítené az összes egyenletet. A minket gyakran érdeklő problémákat leíró rendszereknek (például egy lineáris regressziónak) végtelen számú megoldása lehet.”

Ez egy kis ízelítőt ad a lineáris algebra azon lényegéből, ami minket, gépi tanulással foglalkozó szakembereket érdekel. A műveletek többi részének nagy része arról szól, hogy ezt a problémát és a hozzá hasonló problémákat könnyebben megértsük és megoldjuk.

Numerikus lineáris algebra

A lineáris algebra számítógépes alkalmazását gyakran numerikus lineáris algebrának nevezik.

A “numerikus” lineáris algebra valójában alkalmazott lineáris algebra.

– ix. oldal, Numerikus lineáris algebra, 1997.

Ez több, mint a lineáris algebrai műveletek kódkönyvtárakban történő implementálása; magában foglalja az alkalmazott matematika problémáinak gondos kezelését is, például a digitális számítógépek korlátozott lebegőpontos pontosságával való munkát.

A számítógépek jól végzik a lineáris algebrai számításokat, és a modern gépi tanulási módszerek – például a mélytanulás – grafikus feldolgozóegységektől (GPU) való függésének nagy része a lineáris algebrai műveletek gyors kiszámítására való képességüknek köszönhető.

A vektor- és mátrixműveletek hatékony implementációit eredetileg a FORTRAN programozási nyelvben valósították meg az 1970-es és 1980-as években, és sok olyan kód, vagy ezekből az implementációkból átvett kód van a modern programozási nyelvek, például a Python segítségével végzett lineáris algebra nagy része mögött.

Három népszerű nyílt forráskódú numerikus lineáris algebrai könyvtár, amely ezeket a függvényeket valósítja meg:

• Linear Algebra Package, vagy LAPACK.
• Basic Linear Algebra Subprograms, vagy BLAS (a lineáris algebrai könyvtárak szabványa).
• Automatically Tuned Linear Algebra Software, vagy ATLAS.

Gyakran, amikor lineáris algebrai műveleteket számolunk közvetlenül vagy közvetve magasabb rendű algoritmusokon keresztül, a kódunk nagyon valószínű, hogy ezek vagy hasonló lineáris algebrai könyvtárak valamelyikét használja. Az egyik vagy több ilyen mögöttes könyvtár neve ismerős lehet, ha telepítetted vagy lefordítottad a Python bármelyik numerikus könyvtárát, például a SciPy-t és a NumPy-t.

Lineáris algebra és statisztika

A lineáris algebra értékes eszköz a matematika más ágaiban, különösen a statisztikában.

A statisztikát tanuló diákoktól általában elvárják, hogy legalább egy félév lineáris algebrát (vagy alkalmazott algebrát) láttak az alapképzésben.

– Page xv, Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, 2014.

A lineáris algebra hatását fontos figyelembe venni, tekintettel arra, hogy mindkét terület alapvetően kapcsolódik az alkalmazott gépi tanulás területéhez.

A lineáris algebra néhány egyértelmű ujjlenyomata a statisztikára és a statisztikai módszerekre:

• A vektor- és mátrixjelölés használata, különösen a többváltozós statisztikák esetében.
• A legkisebb négyzetek és a súlyozott legkisebb négyzetek megoldásai, például a lineáris regresszióhoz.
• Az adatmátrixok átlagának és varianciájának becslése.
• A kovarianciamátrix, amely kulcsszerepet játszik a multinomiális Gauss-eloszlásokban.
• Az adatok csökkentésére szolgáló főkomponens-elemzés, amely sok ilyen elemet von össze.

Mint látható, a modern statisztika és adatelemzés, legalábbis ami a gépi tanulással foglalkozó szakember érdekeit illeti, a lineáris algebra megértésétől és eszközeitől függ.

A lineáris algebra alkalmazásai

Mivel a lineáris algebra az adatok matematikája, a lineáris algebra eszközeit számos területen használják.

Gilbert Strang “Bevezetés a lineáris algebrába” című, a témáról szóló klasszikus könyvében egy fejezetet szentel a lineáris algebra alkalmazásainak. Ebben konkrét, a lineáris algebrában gyökerező matematikai eszközöket mutat be. Ezek röviden a következők:

• Mátrixok a mérnöki gyakorlatban, például egy rugósor.
• Gráfok és hálózatok, például hálózatok elemzése.
• Markov-mátrixok, népesség és közgazdaságtan, például a népességnövekedés.
• Lineáris programozás, a szimplex optimalizációs módszer.
• Fourier-sorozatok: Lineáris algebra függvényekre, széles körben használják a jelfeldolgozásban.
• Lineáris algebra a statisztikában és a valószínűségszámításban, például a legkisebb négyzetek regresszióhoz.
• Computergrafika, például a képek különböző transzlációja, átméretezése és forgatása.

A lineáris algebra másik érdekes alkalmazása, hogy ez az a fajta matematika, amelyet Albert Einstein használt relativitáselméletének egyes részeiben. Konkrétan a tenzorokat és a tenzorszámítást. A fizikában is bevezetett egy újfajta lineáris algebrai jelöléstípust, az Einstein-notációt, vagy Einstein összegzési konvenciót.

Lineáris algebra oktatóanyagok

Segítséget keres a lineáris algebra elsajátításához, akkor nézze meg ezeket az oktatóanyagokat:

• Lineáris algebra gépi tanuláshoz (7 napos minikurzus)
• Lineáris algebra puskatábla gépi tanuláshoz
• A matematikai jelölés alapjai gépi tanuláshoz

Kiterjesztések

Ez a rész felsorol néhány ötletet a bemutató bővítésére, amit érdemes lehet felfedezni.

• Keresd meg könyvekben és a világhálón a lineáris algebra területét meghatározó 5 idézetet.
• Keresd meg és sorold fel a lineáris algebra további 5 alkalmazását vagy felhasználását a valószínűségszámítás és statisztika területén.
• Listázz és írj rövid definíciókat a lineáris algebra leírásában használt 10 kifejezéshez.

Ha bármelyik kiterjesztést felfedezed, örülnék, ha tudnád.

További olvasmányok

Ez a rész további forrásokat tartalmaz a témában, ha szeretnél elmélyülni.

Könyvek

• Bevezetés a lineáris algebrába, 2016.
• Numerical Linear Algebra, 1997.
• Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics, 2014.

Cikkek

• Lineáris algebra a Wikipédián
• Lineáris algebra kategória a Wikipédián
• Lineáris algebra témák listája a Wikipédián
• LAPACK a Wikipédián
• Basic Linear Algebra Subprograms on Wikipedia

.

• Automatikusan hangolt lineáris algebra szoftverek a Wikipédián
• Einstein jelölés a Wikipédián
• Az általános relativitáselmélet matematikája a Wikipédián

• Lineáris algebra a gépi tanuláshoz

Összefoglaló

Ez a tananyag, felfedezett egy szelíd bevezetést a lineáris algebrába a gépi tanulás szemszögéből.

Közelebbről megtanulta:

• A lineáris algebra az adatok matematikája.
• A lineáris algebra jelentős hatással volt a statisztika területére.
• A lineáris algebra számos gyakorlati matematikai eszköz, például a Fourier-sorozatok és a számítógépes grafika alapjául szolgál.

Kérdése van?
Tegye fel kérdéseit az alábbi megjegyzésekben, és igyekszem válaszolni.