Mi a nulla a nulla hatványára emelve? Ezt a kérdést több mint 35 milliárd 378 milliószor tették fel. És az emberek 98%-a nem válaszolt helyesen.
Először is, mit jelent a 2⁵? Azt jelenti, hogy 2-szer 2-szer 2-szer 2-szer 2-szer 2-szer 2. Más szavakkal: szorozzuk meg 2-vel önmagát ötször. Most azt mondhatjuk, hogy a 0⁰ azt jelenti, hogy “szorozzuk meg nullát önmagával 0-szor”. Hmmm, ez kínos.
Menjünk más irányba, és keressük meg a többi hatványt.
Amikor egy olyan exponenciális egyenletet látunk, mint például 0⁹ = 0 , azt fogjuk mondani, hogy “a nulla kilencedik hatványig nulla”.
Úgy néz ki, hogy 0⁰ = 0. De 0 az -5. hatványig 1 a 0 felett, ami nem meghatározott, és ugyanez a 0 a -100. hatványig. A negatív exponensek azt mutatják, hogy 0⁰-nak meghatározatlannak kellene lennie.
Más oldalról támadjuk ezt meg. Más számok 0-ra emelve egyenlőek 1-gyel.
Ez a minta arra utal, hogy 0⁰ is 1 kell legyen. Tehát úgy néz ki, hogy nincs biztosan egy különösen pontos megoldás? Ami pontos? Mindazonáltal a helyzettől függően az egyik válaszban dolgozni jobb lehet, mint a többi. A legjobb magyarázatnak megbízhatónak kell lennie, csökkentenie kell a felesleges bonyolultságot, és hasznosnak kell lennie.
A legtöbb elméleti szakember úgy dönt, hogy sok esetben az 1 a 0⁰ legfinomabb definíciója. Nézzük meg ennek két okát. a b-re való emelés úgy tekinthető, mint az a elemekből álló halmazból választható b elemekből álló halmazok száma.
A 2¹ például úgy tekinthető, mint a két elemekből álló halmazból választható egy elemekből álló halmazok mennyisége.
A 0⁰ pedig a nulla elemek halmazából választható nulla elemek halmazainak mennyisége. Amelynek 1nek kell lennie! Tehát az 1 az egyetlen definíció, amely megbízható az exponenciálásnak ebben az értelmezésében.
Ezzel a szemlélettel minden más definíció feleslegesen összezavarná a dolgokat. Egy másik esethez, ahol a 0⁰= 1 hasznos definíció, nézzük meg a binomiális állítást.
Mivel x = 0, ez egyszerűsödik 1 = 0⁰ – 1-re. Ebben a tételben a 0⁰ egyetlen olyan magyarázata, amely helyesen konstruálja a binomiális állítást, az 1. Ismét 0⁰= 1 az egyetlen olyan definíció, amely elkerüli a felesleges bonyolultságot. Mégis, attól függően, hogy milyen matematikával foglalkozunk, az 1 nem biztos, hogy állandóan a legfinomabb definíció.
Nézzünk például néhány határértéket. Egy függvény határértéke az a pontban az az érték, amelyhez a függvény értéke közelít, ahogy a bemenete közelít a-hoz. 0⁰ alakú határértékekkel foglalkozunk, amikor x = 0. Egyszerű az x⁰ határértéke, amikor x 0-hoz közelít. Mivel x⁰ = 1 minden más pontban, a határértéke 0-ban is 1. Ez igazolni látszik, hogy 0⁰ = 1.
Mindamellett léteznek más 0⁰ alakú határértékek is, más értékekkel! A jobbról x-re emelt 0 határértéke 0… Balról pedig meghatározatlan. És más 0⁰ formájú határértékek is lehetnek bármilyen értékűek, mint ez, ami e.
Ezek az ellentmondások jó okok arra, hogy a 0⁰-t “határozatlan formának” vagy “határozatlannak” nevezzük, amikor határértékekkel foglalkozunk. Ezek az egyetlen definíciók, amelyek összhangban vannak azzal, ahogyan mi a határokat definiáljuk.
Szóval mi a 0⁰? Attól függ! Gyakran az 1 a legjobb válasz. Amikor azonban határértékekkel foglalkozunk, a “meghatározatlan” vagy “határozatlan forma” os értelmesebb. Attól függően, hogy milyen típusú matematikával foglalkozunk, még a definíciók és a konvenciók is változhatnak!