Gå til hovedmenuGå til søgning
Modul og argument
Argand-diagrammet
Definition
Et Argand-diagram har en vandret akse, kaldet realaksen, og en lodret akse, kaldet imaginæraksen.
Et komplekst tal $z = a + bi$ plottes ved koordinaterne $(a,b)$, da $a$ er realdelen af det komplekse tal, og $b$ er imaginærdelen.
|center
Arbejdet eksempel
Eksempel 1
Plottér følgende komplekse tal på et Argand-diagram.
\begin{align} z_1 &= 3+i \\ z_2 &= -2-4i \\ z_3 &=-1+3i \\ z_4 &= -2i \end{align}
Løsning
Modul og argument
Definition
Alle komplekse tal $z$ kan repræsenteres ved et punkt på et Argand-diagram. Vi kan forbinde dette punkt med oprindelsen med et linjestykke. Længden af linjestykket kaldes modulus af det komplekse tal og betegnes $\lvert z \rvert$. Den vinkel, der måles fra den positive reelle akse til linjestykket, kaldes det komplekse tals argument, betegnes $arg(z)$ og betegnes ofte $\theta$. Modulet og argumentet kan beregnes ved hjælp af trigonometri.
|center
Modulet for et komplekst tal $z = a + b i$ er \
Når man beregner argumentet for et komplekst tal, skal man vælge mellem at tage værdier i intervallet $$ eller intervallet $$. Begge er ækvivalente og lige gyldige. På denne side vil vi bruge konventionen $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
Den “naive” måde at beregne vinklen til et punkt $(a,b)$ på er at bruge $\arctan(\frac{b}{a})$, men da $\arctan$ kun tager værdier i intervallet $$$, vil dette give det forkerte resultat for koordinater med negativ $x$-komponent. Det kan man rette op på ved at lægge $\pi$ til eller trække $\pi$ fra, alt efter hvilken kvadrant af Argand-diagrammet punktet ligger i.
- Første kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}{right}\right)$.
- Tidste kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}{a}\right) + \pi$.
- Tredje kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}{a}\right) -\pi$.
- Fjerde kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
Det er en god idé at tegne et Argand-diagram af det komplekse tal, når man skal tage stilling til, hvilken formel man skal bruge.
OBS: man skal være opmærksom på at passe på det tilfælde, hvor $a=0$, dvs. det komplekse tal ikke har nogen realdel. I dette tilfælde virker $\arctan$-metoden ikke, men argumentet er enten $\frac{\pi}{2}$ eller $-\frac{\pi}{2}$ for tal med henholdsvis positiv og negativ imaginærdel.
Eksempel
$z_1=1+i$ har argumentet \
Den samme beregning for $z_2=-1-i$ giver imidlertid $\arctan \left(\frac{-1}{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, altså det samme tal!
Hvis vi tegner $z_2$ på et Argand-diagram, kan vi se, at det falder i den tredje kvadrant, så argumentet skal ligge mellem $-\frac{\pi}{2}$ og $-\pi$. Vi skal trække $\pi$ fra for at korrigere dette og får derfor $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$$.
Arbejdseksempler
Eksempel 1
Find modulus og argument for det komplekse tal $z = 3+2i$.
Løsning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\\ &=\sqrt{9+4}\\\ &=\sqrt{13} \end{align}
Da det komplekse tal ligger i den første kvadrant af Argand-diagrammet, kan vi bruge $\arctan \frac{2}{3}$ uden ændring for at finde argumentet.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}\right) \\ &=0,59 \text{ radianer (til 2 d.p.)} \end{align}
Eksempel 2
Find modulet og argumentet for det komplekse tal $z=4i$.
Løsning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\\\ &=\sqrt{16}\\ &=4 \end{align}
Den enkleste måde at finde argumentet på er ved at se på et Argand-diagram og plotte punktet $(0,4)$. Punktet ligger på den positive lodrette akse, så \
Eksempel 3
Find modulet og argumentet for det komplekse tal $z = -2+5i$.
Løsning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\\\ &=\sqrt{4+25}\\ &=\sqrt{29} \end{align}
Da $z$ ligger i anden kvadrant af Argand-diagrammet, skal vi tilføje $\pi$ til det resultat, der er opnået ved $\arctan \left(\frac{5}{-2}{-2}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}\right) + \pi \\\ &=-1,19 + \pi \\\\ &= 1,95 \text{ radianer (til 2 d.p.)} \end{align}
Eksempel 4
Find modulet og argumentet for det komplekse tal $z = -4-3i$.
Løsning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\\\ &=\sqrt{16+9}\\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align}
Da $z$ ligger i den tredje kvadrant af Argand-diagrammet, skal vi subtrahere $\pi$ fra resultatet af $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\right) – \pi\\\\ &= \arctan \left(\frac{3}{4}{4}\right) – \pi\\\\ &= 0,64 – \pi \\\\ &= -2,50 \text{ radianer (til 2 d.p.)} \end{align}
Note: Alternativt kunne svaret have været givet i intervallet $0 \lt \theta \lt 2\pi$, hvor vi ville have tilføjet $\pi$, i stedet for at trække det fra, og fået et svar på $\arg z = 3,67$ radianer (til 2 d.p.)
Eksempel 5
Find modulet og argumentet for det komplekse tal $z = 1-4i$.
Løsning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\\\ &=\sqrt{1+16}\\ &=\sqrt{17} \end{align}
Da $z$ ligger i Argand-diagrammets fjerde kvadrant, behøver vi ikke at ændre resultatet af $\arctan \left(\frac{-4}{1}{1}\right)$ for at finde argumentet.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\right)\\ &= \arctan \left(-4\right) \\ &= -1.33 \text{ radianer (til 2 d.p.)} \end{align}
Videoeksempel
Prof. Robin Johnson tegner de komplekse tal $z=-1-i$ og $z=-4+3i$ på et Argand-diagram og finder deres modulus og argument.
Arbejdsbog
Denne arbejdsbog produceret af HELM er en god repetitionshjælp, der indeholder nøglepunkter til repetition og mange arbejdseksempler.
- Argand-diagrammer og polarform
Test Yourself
Test dig selv: Numbas test om at finde modulet og argumentet