Negation
I matematikken er det nogle gange vigtigt at finde ud af, hvad det modsatte af et givet matematisk udsagn er. Dette kaldes normalt for at “negere” et udsagn. En ting man skal huske på er, at hvis et udsagn er sandt, så er dets negation falsk (og hvis et udsagn er falsk, så er dets negation sandt).
Lad os tage et kig på nogle af de mest almindelige negationer.
Negation af “A eller B”.
Hvor vi giver svaret, skal vi prøve at gøre det for et eksempel.
Opfattet udsagnet “Du er enten rig eller lykkelig”. For at dette udsagn skal være falsk, kan du ikke være rig og du kan ikke være lykkelig. Det modsatte er med andre ord, at man ikke er rig og ikke lykkelig. Eller hvis vi omskriver det i form af det oprindelige udsagn, får vi “Du er ikke rig og ikke lykkelig”.
Hvis vi lader A være udsagnet “Du er rig” og B udsagnet “Du er lykkelig”, så bliver negationen af “A eller B” til “Ikke A og ikke B.”
I det hele taget har vi det samme udsagn: Negationen af “A eller B” bliver udsagnet “Ikke A og ikke B.”
Negationen af “A og B”.
Lad os igen analysere et eksempel først.
Og tænk på udsagnet “Jeg er både rig og lykkelig”. For at dette udsagn skulle være falsk, kunne jeg enten ikke være rig eller ikke lykkelig. Hvis vi lader A være udsagnet “Jeg er rig” og B udsagnet “Jeg er lykkelig”, så bliver negationen af “A og B” til “Jeg er ikke rig eller jeg er ikke lykkelig” eller “Ikke A eller ikke B”.
Negation af “Hvis A, så B”.
For at negere et udsagn af formen “Hvis A, så B” skal vi erstatte det med udsagnet “A og Ikke B”. Dette kan virke forvirrende i første omgang, så lad os se på et simpelt eksempel for at forstå, hvorfor dette er det rigtige at gøre.
Tænk på udsagnet “Hvis jeg er rig, så er jeg lykkelig”. For at dette udsagn skulle være falsk, skulle jeg være rig og ikke lykkelig. Hvis Ais er udsagnet “Jeg er rig” og B er udsagnet “Jeg er lykkelig”, så er negationen af “A $\Rightarrow$ B” “Jeg er rig” = A, og “Jeg er ikke lykkelig” = ikke B.
Så negationen af “hvis A, så B” bliver “A og ikke B”.
Eksempel.
Nu skal vi overveje et udsagn, der involverer noget matematik. Tag udsagnet “Hvis n er lige, så er $\frac{n}{2}$ et helt tal”. For at dette udsagn skulle være falsk, skulle vi finde et lige heltal $n$, for hvilket $\frac{n}{2}$ ikke var et heltal. Så det modsatte af dette udsagn er udsagnet, at “$n$ er lige, og $\frac{n}{2}$ er ikke et heltal.”
Negation af “For hver …”, “For alle …”, “Der findes …”
Sommetider støder vi på vendinger som “for hver”, “for enhver”, “foralle” og “der findes” i matematiske udsagn.
Eksempel.
Tænk på udsagnet “For alle hele tal $n$, enten er $n$ lige eller $n$ ulige.” Selv om formuleringen er lidt anderledes, er der tale om et udsagn af formen “Hvis A, så er B”. Vi kan omformulere denne sætning på følgende måde: “Hvis $n$ er et vilkårligt heltal, så er enten $n$ lige eller $n$ ulige.”
Hvordan kan vi negere dette udsagn? For at dette udsagn skal være falsk, skal vi blot finde et enkelt heltal, som ikke er lige og ikke ulige. Med andre ord er negationen udsagnet “Der findes et heltal $n$, således at $n$ ikke er lige og $n$ ikke er ulige.”
I almindelighed, når man negerer et udsagn, der involverer “for alle”, “for hver”, bliver udtrykket “for alle” erstattet med “der findes”. Tilsvarende gælder det, at når man negerer et udsagn, der involverer “der findes”, bliver sætningen “der findes” erstattet med “for alle” eller “for alle”.”
Eksempel. Negér udsagnet “Hvis alle rige mennesker er lykkelige, så er alle fattige mennesker triste”.
Først har dette udsagn formen “Hvis A, så er B”, hvor A er udsagnet “Alle rige mennesker er glade” og B er udsagnet “Alle fattige mennesker er triste”. Så negationen har formen “A og ikke B”. Vi bliver altså nødt til at negere B. Negationen af udsagnet B er “Der findes en fattig person, som ikke er ked af det”.
Sammenlægning af dette giver: “Alle rige mennesker er glade, men der findes en fattig person, som ikke er ked af det” som negation af “Hvis alle rige mennesker er glade, så er alle fattige mennesker ked af det.”
Sammenfatning.
| Udsagn | Negation |
| “A eller B” | “ikke A og ikke B” |
| “A og B” | “ikke A eller ikke B” |
| “hvis A, så B” | “A og ikke B” |
| “For alle x, A(x)” | “Der findes x sådan, at ikke A(x)” |
| “Der findes x sådan, at A(x)” | “For ethvert x findes der ikke A(x)” |