Linearitet

I matematikken er et lineært kort eller en lineær funktion f(x) en funktion, der opfylder de to følgende egenskaber:

• Additivitet: f(x + y) = f(x) + f(y).
• Homogenitet af grad 1: f(αx) = α f(x) for alle α.

Disse egenskaber er kendt som superpositionsprincippet. I denne definition er x ikke nødvendigvis et reelt tal, men kan i almindelighed være et element i et vilkårligt vektorrum. En mere speciel definition af lineær funktion, der ikke er sammenfaldende med definitionen af lineært kort, anvendes i elementær matematik (se nedenfor).

Additivitet alene indebærer homogenitet for rationale α, da f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}

indebærer, at f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}

for ethvert naturligt tal n ved matematisk induktion, og derefter n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}}x)}

indebærer f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}}}x)={\tfrac {n}{m}}}f(x)}

. Tætheden af de rationale tal i de reelle tal indebærer, at enhver additiv kontinuert funktion er homogen for ethvert reelt tal α, og derfor er lineær.

Begrebet linearitet kan udvides til at omfatte lineære operatører. Vigtige eksempler på lineære operatører omfatter den afledte, betragtet som en differentiel operatør, og andre operatører konstrueret ud fra den, såsom del og laplacianeren. Når en differentialligning kan udtrykkes i lineær form, kan den generelt løses ved at bryde ligningen op i mindre stykker, løse hvert af disse stykker og summere løsningerne.

Linær algebra er den gren af matematikken, der beskæftiger sig med studiet af vektorer, vektorrum (også kaldet “lineære rum”), lineære transformationer (også kaldet “lineære kort”) og systemer af lineære ligninger.

For en beskrivelse af lineære og ikke-lineære ligninger, se lineær ligning.

Lineære polynomierRediger

I en anden brug end ovenstående definition siges et polynomium af grad 1 at være lineært, fordi grafen for en funktion af denne form er en ret linje.

Over de reelle tal er en lineær ligning en af formerne:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\ }

hvor m ofte kaldes hældningen eller gradienten; b er y-interceptet, som giver skæringspunktet mellem funktionens graf og y-aksen.

Bemærk, at denne brug af begrebet lineær ikke er den samme som i afsnittet ovenfor, fordi lineære polynomier over de reelle tal generelt ikke opfylder hverken additivitet eller homogenitet. Faktisk gør de det, hvis og kun hvis b = 0. Hvis b ≠ 0, kaldes funktionen derfor ofte en affin funktion (se i større almindelighed affin transformation).

Boolske funktionerRediger

I boolsk algebra er en lineær funktion en funktion f {\displaystyle f}

for hvilken der findes a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}

således at f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}

, hvor b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}

Bemærk, at hvis a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}

, betragtes ovenstående funktion som affin i lineær algebra (dvs. ikke lineær).

En boolsk funktion er lineær, hvis en af følgende gælder for funktionens sandhedstabel:

1. I hver række, hvor sandhedsværdien af funktionen er T, er der et ulige antal Ts tildelt argumenterne, og i hver række, hvor funktionen er F, er der et lige antal Ts tildelt argumenterne. Specifikt er f(F, F, …, F) = F, og disse funktioner svarer til lineære kort over det boolske vektorrum.
2. I hver række, hvor funktionens værdi er T, er der et lige antal Ts tildelt til funktionens argumenter, og i hver række, hvor funktionens sandhedsværdi er F, er der et ulige antal Ts tildelt til argumenterne. I dette tilfælde er f(F, F, …, F) = T.

En anden måde at udtrykke dette på er, at hver variabel altid gør en forskel i funktionens sandhedsværdi, eller også gør den aldrig en forskel.

Negation, logisk bikonditionalitet, eksklusivt eller, tautologi og modsigelse er lineære funktioner.