Hvad er nul opgjort i potens af nul? Dette er et spørgsmål, der er stillet mere end 35 milliarder og 378 millioner gange. Og 98 % af folk har ikke svaret korrekt.
Først, hvad betyder 2⁵? Det betyder 2 gange 2 gange 2 gange 2 gange 2 gange 2 gange 2 gange 2. Med andre ord: Multiplicer 2 med sig selv 5 gange. Nu kan vi sige, at 0⁰ betyder “multiplicer nul med sig selv 0 gange”. Hmmm, det er akavet.
Lad os gå i forskellige retninger og finde de andre potenser.
Når vi ser en eksponentiel ligning som 0⁹ = 0 , vil vi sige “nul til niende potens er nul”.
Det ser ud som om 0⁰ = 0. Men 0 til -5. potens er 1 over 0, hvilket er udefineret, og det samme med 0 til -100. potens. De negative eksponenter indikerer, at 0⁰ skal være udefineret.
Lad os angribe dette fra en anden vinkel. Andre tal hævet til 0 er lig med 1.
Dette mønster indikerer, at 0⁰ også burde være 1. Så det ser ud til, at der bestemt ikke findes en særlig præcis løsning? Hvilken er nøjagtig? Ikke desto mindre afhængig af situationen, du arbejder i et svar kan være bedre end de andre. Den bedste forklaring skal være pålidelig, reducere unødvendig kompleksitet og være gavnlig.
De fleste teoretikere vælger, at 1 i mange tilfælde er den fineste definition for 0⁰. Lad os se på to grunde til dette. a forhøjelse til b kan ses som antallet af sæt af b-elementer, der kan vælges fra et sæt af a-elementer.
For eksempel kan 2¹ iagttages som mængden af sæt af et element, der kan vælges fra et sæt af to elementer.
Og 0⁰ er mængden af sæt af nul elementer, der kan vælges fra et sæt af nul elementer. Hvilket må være 1! Så 1 er den eneste definition, der er pålidelig med denne forståelse af eksponering.
I dette perspektiv ville enhver anden definition forvirre tingene unødigt. For et andet tilfælde, hvor 0⁰= 1 er en fordelagtig definition, lad os se på binomialangivelsen.
Da x = 0, forenkles dette til 1 = 0⁰ – 1. I dette punkt er den eneste forklaring på 0⁰, der konstruerer binomialforklaringen korrekt, 1. Igen er 0⁰= 1 den eneste definition, der undgår unødig kompleksitet. Men afhængigt af den slags matematik, vi laver, er 1 måske ikke permanent den fineste definition.
Lad os for eksempel se på nogle grænser. Grænsen for en funktion i punktet a er den værdi af funktionen nærmer sig, når dens indgang nærmer sig a. Vi beskæftiger os med grænser af formen 0⁰, når x = 0. En enkel er grænsen for x⁰, når x nærmer sig 0. Da x⁰ = 1 i alle andre punkter, er dens grænse i 0 også 1. Dette synes at bekræfte, at 0⁰ = 1.
Nu findes der dog andre grænser af formen 0⁰ med andre værdier! Grænsen for 0 hæve til x fra højre er 0… Og fra venstre er den udefineret. Og andre grænser af formen 0⁰kan være enhver værdi som denne, der er e.
Disse konflikter er gode grunde til at kalde 0⁰ for en “ubestemt form” eller “udefineret”, når man har med grænser at gøre. Det er de eneste definitioner, der er i overensstemmelse med den måde, vi definerer grænser på.
Så hvad er 0⁰? Det afhænger af det! Ofte er 1 det bedste svar. Men når der er tale om grænser, er “udefineret” eller “ubestemt form” os mere fornuftigt. Afhængigt af hvilken type matematik vi laver, kan selv definitioner og konventioner ændre sig!