Uma Introdução Suave à Álgebra Linear

Última Atualização em 9 de agosto de 2019

O que é Álgebra Linear?

Álgebra Linear é um campo da matemática que é universalmente aceito como um pré-requisito para uma compreensão mais profunda da aprendizagem da máquina.

Algebra linear é um grande campo com muitas teorias e descobertas esotéricas, as ferramentas de porcas e parafusos e notações retiradas do campo são práticas para os praticantes da aprendizagem de máquinas. Com uma base sólida do que é álgebra linear, é possível focar apenas nas partes boas ou relevantes.

Neste tutorial, você descobrirá o que é exatamente álgebra linear do ponto de vista da aprendizagem de máquinas.

Após completar este tutorial, você saberá:

• Álgebra linear é a matemática dos dados.
• Álgebra linear tem tido um impacto marcante no campo da estatística.
• Álgebra linear está subjacente a muitas ferramentas matemáticas práticas, como as séries Fourier e computação gráfica.

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Vamos começar.

Visão geral do tutorial

Este tutorial está dividido em 4 partes; elas são:

1. Álgebra Linear
2. Álgebra Linear Numérica
3. Álgebra Linear e Estatística
4. Aplicações de Álgebra Linear

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Álgebra linear

Álgebra linear é um ramo da matemática, mas a verdade é que a álgebra linear é a matemática dos dados. Matrizes e vetores são a linguagem dos dados.

Álgebra linear é sobre combinações lineares. Ou seja, usando aritmética em colunas de números chamados vetores e arrays de números chamados matrizes, para criar novas colunas e arrays de números. Álgebra linear é o estudo de linhas e planos, espaços vetoriais e mapeamentos que são necessários para as transformações lineares.

É um campo de estudo relativamente jovem, tendo sido inicialmente formalizado no século XIX para encontrar incógnitas em sistemas de equações lineares. Uma equação linear é apenas uma série de termos e operações matemáticas onde alguns termos são desconhecidos; por exemplo:

Equações como esta são lineares na medida em que descrevem uma linha em duas…gráfico dimensional. A linha vem de ligar diferentes valores ao x desconhecido para descobrir o que a equação ou modelo faz com o valor de y.

Podemos alinhar um sistema de equações com a mesma forma com duas ou mais incógnitas; por exemplo:

A coluna de valores y pode ser tomada como uma coluna vetorial de saídas da equação. As duas colunas de valores de ponto flutuante são as colunas de dados, digamos a1 e a2, e podem ser tomadas como uma matriz A. Os dois valores desconhecidos x1 e x2 podem ser tomados como os coeficientes da equação e juntos formam um vetor de desconhecidos b a ser resolvido. Podemos escrever isto de forma compacta usando notação de álgebra linear como:

>

Problemas desta forma são geralmente difíceis de resolver porque há mais incógnitas (aqui temos 2) do que há equações para resolver (aqui temos 3). Além disso, muitas vezes não há uma única linha que possa satisfazer todas as equações sem erro. Sistemas que descrevem problemas nos quais estamos frequentemente interessados (como uma regressão linear) podem ter um número infinito de soluções.

Isto dá uma pequena amostra do próprio núcleo da álgebra linear que nos interessa como praticantes da aprendizagem de máquinas. Muito do resto das operações é sobre como tornar este problema e problemas como ele mais fácil de entender e resolver.

Álgebra Linear Numérica

– A aplicação da álgebra linear em computadores é frequentemente chamada de álgebra linear numérica.

-Álgebra linear “numérica” é realmente aplicada álgebra linear.

– Página ix, Álgebra Linear Numérica, 1997.

É mais do que apenas a implementação de operações de álgebra linear em bibliotecas de código; também inclui o manuseio cuidadoso dos problemas da matemática aplicada, como trabalhar com a precisão limitada do ponto flutuante dos computadores digitais.

Os computadores são bons em realizar cálculos de álgebra linear, e grande parte da dependência das Unidades de Processamento Gráfico (GPUs) pelos métodos modernos de aprendizagem de máquinas, como o aprendizado profundo, é devido à sua capacidade de computar operações de álgebra linear rapidamente.

Aplicações eficientes de operações vetoriais e matriciais foram originalmente implementadas na linguagem de programação FORTRAN nos anos 70 e 80 e muito código, ou código portado dessas implementações, está subjacente a grande parte da álgebra linear executada usando linguagens de programação modernas, como Python.

Três bibliotecas de álgebra linear numéricas de código aberto populares que implementam essas funções são:

• Pacote de Álgebra Linear, ou LAPACK.
• Basic Linear Algebra Subprograms, ou BLAS (um padrão para bibliotecas de álgebra linear).
• Automatically Tuned Linear Algebra Software, ou ATLAS.

Muitas vezes, quando você está calculando operações de álgebra linear direta ou indiretamente através de algoritmos de ordem mais alta, é muito provável que seu código esteja diminuindo para usar uma destas, ou bibliotecas de álgebra linear similares. O nome de uma dessas bibliotecas subjacentes pode ser familiar se você tiver instalado ou compilado qualquer uma das bibliotecas numéricas do Python, como SciPy e NumPy.

Álgebra Linear e Estatística

Álgebra Linear é uma ferramenta valiosa em outros ramos da matemática, especialmente estatística.

E espera-se que estudantes estudando estatística tenham visto pelo menos um semestre de álgebra linear (ou álgebra aplicada) no nível de graduação.

– Página xv, Álgebra Linear e Análise de Matrizes para Estatística, 2014.

O impacto da álgebra linear é importante a considerar, dada a relação fundamental que ambos os campos têm com o campo da aprendizagem aplicada à máquina.

Algumas impressões digitais claras da álgebra linear sobre estatística e métodos estatísticos incluem:

• Uso de notação vetorial e matricial, especialmente com estatística multivariada.
• Soluções para mínimos quadrados e mínimos quadrados ponderados, como para regressão linear.
• Etimações de média e variância de matrizes de dados.
• Matriz de covariância que desempenha um papel fundamental nas distribuições multinomiais gaussianas.
• Análise de componentes primitivos para redução de dados que junta muitos destes elementos.

Como você pode ver, estatísticas modernas e análise de dados, pelo menos no que diz respeito aos interesses de um praticante de aprendizagem de máquinas, dependem da compreensão e ferramentas da álgebra linear.

Aplicações da Álgebra Linear

As álgebra linear é a matemática dos dados, as ferramentas da álgebra linear são usadas em muitos domínios.

No seu livro clássico sobre o tema “Introdução à Álgebra Linear”, Gilbert Strang fornece um capítulo dedicado às aplicações da álgebra linear. Nele, ele demonstra ferramentas matemáticas específicas enraizadas na álgebra linear. Em resumo são:

• Matrices in Engineering, como uma linha de molas.
• Gráficos e Redes, como a análise de redes.
• Markov Matrizes, População e Economia, como o crescimento populacional.
• Programação Linear, o método de otimização simplex.
• Série Fourier: Álgebra linear para funções, amplamente utilizada no processamento de sinais.
• Álgebra linear para estatísticas e probabilidade, como os mínimos quadrados para regressão.
• Gráficos computacionais, como as várias traduções, redimensionamento e rotação de imagens.

Outra aplicação interessante da álgebra linear é que ela é o tipo de matemática utilizada por Albert Einstein em partes de sua teoria da relatividade. Especificamente tensores e cálculo tensor. Ele também introduziu um novo tipo de notação de álgebra linear à física chamada notação de Einstein, ou a convenção de soma de Einstein.

Tutoriais de Álgebra Linear

Você está procurando por alguma ajuda para começar com a álgebra linear, então dê uma olhada em alguns desses tutoriais:

• Álgebra Linear para Aprendizagem Mecânica (Mini-Curso de 7 Dias)
• Placa de Álgebra Linear para Aprendizagem Mecânica
• Bases da Notação Matemática para Aprendizagem Mecânica

Extensões

Esta seção lista algumas idéias para estender o tutorial que você pode querer explorar.

• Procure livros e a web por 5 citações definindo o campo da álgebra linear.
• Pesquisar e listar mais 5 aplicações ou usos da álgebra linear no campo de probabilidade e estatística.
• Lista e escreve pequenas definições para 10 termos usados na descrição da álgebra linear.

Se você explorar qualquer uma dessas extensões, eu adoraria saber.

Outras leituras

Esta seção fornece mais recursos sobre o tópico se você estiver procurando ir mais fundo.

Livros

• Introdução à Álgebra Linear, 2016.
• Álgebra Linear Numérica, 1997.
• Álgebra Linear e Análise Matricial para Estatística, 2014.

Artigos

• Álgebra Linear na Wikipédia
• Categoria de Álgebra Linear na Wikipédia
• Lista de Álgebra Linear na Wikipédia
• LAPACK na Wikipédia
• Subprogramas de Álgebra Linear Básica na Wikipédia
• Software de álgebra linear sintonizado automaticamente na Wikipédia
• Notação de Einstein na Wikipédia
• Matemática da relatividade geral na Wikipédia

>
• Álgebra linear para aprendizagem de máquinas

Resumo

Neste tutorial, você descobriu uma introdução suave à álgebra linear a partir de uma perspectiva de aprendizagem da máquina.

Especificamente, você aprendeu:

• Álgebra linear é a matemática dos dados.
• Álgebra linear teve um impacto marcante no campo da estatística.
• Álgebra linear é a base de muitas ferramentas matemáticas práticas, tais como as séries Fourier e computação gráfica.

Você tem alguma dúvida?
Saber suas dúvidas nos comentários abaixo e farei o meu melhor para responder.