Toggle Main MenuToggle Search
Modul och argument
Arganddiagrammet
Definition
Ett Arganddiagram har en horisontell axel, kallad realaxeln, och en vertikal axel, kallad imaginäraxeln.
Ett komplext tal $z = a + bi$ plottas vid koordinaterna $(a,b)$, eftersom $a$ är den reala delen av det komplexa talet och $b$ den imaginära delen.
|center
Arbetat exempel
Exempel 1
Plotta följande komplexa tal på ett Arganddiagram.
\begin{align} z_1 &= 3+i \\ z_2 &= -2-4i \\ z_3 &=-1+3i \\ z_4 &= -2i \end{align}
Lösning
Modul och argument
Definition
Varje komplext tal $z$ kan representeras av en punkt på ett Arganddiagram. Vi kan förena denna punkt med origo med ett linjesegment. Längden på linjesegmentet kallas modulus för det komplexa talet och betecknas $\lvert z \rvert$. Den vinkel som mäts från den positiva reella axeln till linjesegmentet kallas det komplexa talets argument, betecknas $arg(z)$ och betecknas ofta $\theta$. Modulus och argument kan beräknas med hjälp av trigonometri.
|center
Modulen för ett komplext tal $z = a + b i$ är \
När man beräknar argumentet för ett komplext tal måste man välja mellan att ta värden i intervallet $$ eller området $$. Båda är likvärdiga och lika giltiga. På denna sida kommer vi att använda konventionen $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
Det ”naiva” sättet att beräkna vinkeln till en punkt $(a,b)$ är att använda $\arctan(\frac{b}{a})$, men eftersom $\arctan$ endast tar värden i intervallet $$$ kommer detta att ge fel resultat för koordinater med negativ $x$-komponent. Du kan åtgärda detta genom att addera eller subtrahera $\pi$, beroende på i vilken kvadrant av Arganddiagrammet som punkten ligger i.
- Första kvadranten: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
- Sekonde kvadranten: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) + \pi$.
- Tredje kvadranten: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right) -\pi$.
- Fjärde kvadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\right)$.
Det är en bra idé att rita ett Arganddiagram av det komplexa talet när man fattar beslut om vilken formel man ska använda.
Notera: Var försiktig med att se upp för fallet när $a=0$, dvs. det komplexa talet inte har någon realdel. I detta fall fungerar inte metoden $\arctan$, utan argumentet är antingen $\frac{\pi}{2}$ eller $-\frac{\pi}{2}$ för tal med positiv respektive negativ imaginärdel.
Exempel
$z_1=1+i$ har argumentet \
Men samma beräkning för $z_2=-1-i$ ger $\arctan \left(\frac{-1}{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, samma tal!
Om vi ritar $z_2$ på ett Arganddiagram kan vi se att det faller i den tredje kvadranten, så argumentet bör ligga mellan $-\frac{\pi}{2}$ och $-\pi$. Vi måste subtrahera $\pi$ för att korrigera detta och får därför $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Arbetsmoment
Exempel 1
Finn modulus och argument för det komplexa talet $z = 3+2i$.
Lösning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\\ &=\sqrt{9+4}\\\ &=\sqrt{13} \end{align}
Då det komplexa talet ligger i den första kvadranten av Arganddiagrammet, kan vi använda $\arctan \frac{2}{3}$ utan modifiering för att hitta argumentet.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}\right) \\ &=0.59 \text{ radianer (till 2 d.p.)} \end{align}
Exempel 2
Hitta modulus och argument för det komplexa talet $z=4i$.
Lösning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\\\ &=\sqrt{16}\\ &=4 \end{align}
Det enklaste sättet att hitta argumentet är att titta på ett Arganddiagram och plotta punkten $(0,4)$. Punkten ligger på den positiva vertikala axeln, så \
Exempel 3
Finn modulus och argument för det komplexa talet $z = -2+5i$.
Lösning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\\ &=\sqrt{4+25}\\ &=\sqrt{29} \end{align}
Då $z$ ligger i Arganddiagrammets andra kvadrant måste vi lägga till $\pi$ till resultatet från $\arctan \left(\frac{5}{-2}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}\right) + \pi \\\ &=-1.19 + \pi \\\ &= 1.95 \text{ radianer (till 2 d.p.)} \end{align}
Exempel 4
Finn modulus och argument för det komplexa talet $z = -4-3i$.
Lösning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\\ &=\sqrt{16+9}\\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align}
Som $z$ ligger i den tredje kvadranten av Arganddiagrammet, måste vi subtrahera $\pi$ från resultatet av $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\right) – \pi\\\ &= \arctan \left(\frac{3}{4}\right) – \pi\\\ &= 0.64 – \pi \\\ &= -2.50 \text{ radianer (till 2 d.p.)} \end{align}
Note: Alternativt kunde svaret ha givits i intervallet $0 \lt \theta \lt 2\pi$, där vi skulle ha adderat $\pi$, istället för att subtrahera det, och fått ett svar på $\arg z = 3.67$ radianer (till 2 d.p.)
Exempel 5
Finn modulus och argument för det komplexa talet $z = 1-4i$.
Lösning
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\\ &=\sqrt{1+16}\\ &=\sqrt{17} \end{align}
Då $z$ ligger i Arganddiagrammets fjärde kvadrant, behöver vi inte ändra resultatet av $\arctan \left(\frac{-4}{1}\right)$ för att hitta argumentet.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\right)\\ &= \arctan \left(-4\right) \\ &= -1.33 \text{ radianer (till 2 d.p.)} \end{align}
Videoexempel
Prof. Robin Johnson ritar in de komplexa talen $z=-1-i$ och $z=-4+3i$ i ett Arganddiagram och finner deras modul och argument.
Arbetsbok
Denna arbetsbok, som producerats av HELM, är ett bra repetitionshjälpmedel och innehåller viktiga punkter för repetition och många arbetade exempel.
- Arganddiagram och polarform
Testa dig själv
Testa dig själv: Numbas test för att hitta modulus och argument