Negation
I matematiken är det ibland viktigt att avgöra vad motsatsen till ett visst matematiskt påstående är. Detta brukar kallas för att ”negera” ett påstående. En sak att tänka på är att om ett påstående är sant så är dess negation falsk (och om ett påstående är falskt så är dess negation sann).
Låt oss ta en titt på några av de vanligaste negationerna.
Negation av ”A eller B”.
För att ge svaret ska vi försöka göra detta för ett exempel.
Tänk på påståendet ”Du är antingen rik eller lycklig”. För att detta påstående ska vara falskt kan du inte vara rik och du kan inte vara lycklig. Motsatsen är med andra ord att inte vara rik och inte lycklig. Eller om vi skriver om det i termer av det ursprungliga påståendet får vi ”Du är varken rik eller lycklig”.
Om vi låter A vara påståendet ”Du är rik” och B vara påståendet ”Du är lycklig”, blir negationen av ”A eller B” ”Inte A och inte B.”
I allmänhet har vi samma påstående: Negationen av ”A eller B” blir påståendet ”Inte A och inte B.”
Negationen av ”A och B”.
Återigen, låt oss först analysera ett exempel.
Tänk på påståendet ”Jag är både rik och lycklig”. För att detta påstående ska vara falskt skulle jag kunna vara antingen inte rik eller inte lycklig. Om vi låter A vara påståendet ”Jag är rik” och B vara påståendet ”Jag är lycklig”, blir negationen av ”A och B” ”Jag är inte rik eller jag är inte lycklig” eller ”Inte A eller inte B”.
Negationen av ”Om A, då B”.
För att negera ett påstående av formen ”Om A, då B” ska vi ersätta det med påståendet ”A och Inte B”. Detta kan verka förvirrande till en början, så låt oss ta en titt på ett enkelt exempel för att hjälpa till att förstå varför detta är rätt sak att göra.
Tänk på påståendet ”Om jag är rik, då är jag lycklig”. För att detta påstående ska vara falskt skulle jag behöva vara rik och inte lycklig. Om Ais är påståendet ”Jag är rik” och B är påståendet ”Jag är lycklig”, så är negationen av ”A $\Rightarrow$ B” ”Jag är rik” = A, och ”Jag är inte lycklig” = inte B.
Så blir negationen av ”om A, då B” ”A och inte B”.
Exempel.
Nu ska vi betrakta ett påstående som inbegriper lite matematik. Ta påståendet ”Om n är jämnt så är $\frac{n}{2}$ ett heltal”. För att detta påstående ska vara falskt måste vi hitta ett jämnt heltal $n$ för vilket $\frac{n}{2}$ inte är ett heltal. Motsatsen till detta påstående är alltså påståendet att ”$n$ är jämnt och $\frac{n}{2}$ är inte ett heltal.”
Negation av ”För varje …”, ”För alla …”, ”Det finns …”
I matematiska påståenden stöter vi ibland på fraser som ”för varje”, ”för alla”, ”för alla” och ”det finns”.
Exempel.
Tänk på påståendet ”För alla heltal $n$ är antingen $n$ jämnt eller $n$ udda.” Även om formuleringen är lite annorlunda är detta ett påstående av formen ”Om A, då B”. Vi kan omformulera denna mening på följande sätt: ”Om $n$ är ett heltal så är antingen $n$ jämnt eller $n$ udda.”
Hur skulle vi förneka detta påstående? För att påståendet ska vara falskt behöver vi bara hitta ett enda heltal som inte är jämnt eller udda. Med andra ord är negationen påståendet ”Det finns ett heltal $n$, så att $n$ inte är jämnt och $n$ inte udda.”
I allmänhet, när man negerar ett påstående som innefattar ”för alla”, ”för varje”, ersätts frasen ”för alla” med ”det finns”. På samma sätt, när man förnekar ett påstående som innefattar ”det finns”, ersätts frasen ”det finns” med ”för varje” eller ”för alla.”
Exempel. Negera påståendet ”Om alla rika människor är lyckliga, så är alla fattiga människor ledsna”.
För det första har detta påstående formen ”Om A, då B”, där A är påståendet ”Alla rika människor är glada” och B är påståendet ”Alla fattiga människor är ledsna”. Så negationen har formen ”A och inte B”. Vi måste alltså negera B. Negationen av påståendet B är ”Det finns en fattig person som inte är ledsen”.
Om man lägger ihop detta får man följande: ”Om alla rika människor är lyckliga, men det finns en fattig person som inte är ledsen” är negationen av ”Om alla rika människor är lyckliga, så är alla fattiga människor ledsna.”
Sammanfattning.
| Påstående | Negation |
| ”A eller B” | ”inte A och inte B” |
| ”A och B” | ”inte A eller inte B” |
| ”om A, då B” | ”A och inte B” |
| ”For all x, A(x)” | ”Det finns x så att inte A(x)” |
| ”Det finns x så att A(x)” | ”För varje x, inte A(x)” |