Linjäritet

I matematiken är en linjär karta eller linjär funktion f(x) en funktion som uppfyller följande två egenskaper:

• Additivitet: f(x + y) = f(x) + f(y).
• Homogenitet av grad 1: f(αx) = α f(x) för alla α.

Dessa egenskaper är kända som superpositionsprincipen. I den här definitionen är x inte nödvändigtvis ett reellt tal, utan kan i allmänhet vara ett element i vilket vektorrum som helst. En mer speciell definition av linjär funktion, som inte sammanfaller med definitionen av linjär karta, används i elementär matematik (se nedan).

Additivitet innebär i sig själv homogenitet för rationella α, eftersom f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}

innebär att f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}

för varje naturligt tal n genom matematisk induktion, och då är n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}

innebär att f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}}x)={\tfrac {n}{m}}}f(x)}

. De rationella talens täthet i de reella talen innebär att alla additiva kontinuerliga funktioner är homogena för alla reella tal α och därför är linjära.

Begreppet linjäritet kan utvidgas till linjära operatörer. Viktiga exempel på linjära operatörer är derivatan betraktad som en differentialoperatör och andra operatörer som konstruerats utifrån den, t.ex. del och laplacian. När en differentialekvation kan uttryckas i linjär form kan den i allmänhet lösas genom att bryta upp ekvationen i mindre bitar, lösa var och en av dessa bitar och summera lösningarna.

Linjär algebra är den gren av matematiken som ägnar sig åt studiet av vektorer, vektorrum (även kallade ”linjära rum”), linjära transformationer (även kallade ”linjära kartor”) och system av linjära ekvationer.

För en beskrivning av linjära och icke-linjära ekvationer, se linjärekvation.

Linjära polynomierRedigera

I en annan användning än ovanstående definition sägs ett polynom av grad 1 vara linjärt, eftersom grafen för en funktion av den formen är en rät linje.

Över de reella är en linjär ekvation en av formerna:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\ }

där m ofta kallas för lutningen eller gradienten; b för y-interceptet, vilket ger skärningspunkten mellan funktionens graf och y-axeln.

Bemärk att denna användning av termen linjär inte är densamma som i avsnittet ovan, eftersom linjära polynom över de reella talen generellt sett inte uppfyller vare sig additivitet eller homogenitet. I själva verket gör de det om och endast om b = 0. Om b ≠ 0 kallas funktionen därför ofta för en affin funktion (se mer allmänt affin transformation).

Boolska funktionerRedigera

I boolsk algebra är en linjär funktion en funktion f {\displaystyle f}

för vilken det finns a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}}

så att f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})}

, där b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in \{0,1\}.}

Notera att om a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}

, anses ovanstående funktion vara affin i linjär algebra (dvs. inte linjär).

En boolesk funktion är linjär om något av följande gäller för funktionens sanningstabell:

1. I varje rad där funktionens sanningsvärde är T finns ett udda antal Ts tilldelade till argumenten, och i varje rad där funktionen är F finns ett jämnt antal Ts tilldelade till argumenten. Specifikt är f(F, F, …, F) = F, och dessa funktioner motsvarar linjära kartor över det booleska vektorrummet.
2. I varje rad där funktionens värde är T finns det ett jämnt antal Ts tilldelade till funktionens argument, och i varje rad där funktionens sanningsvärde är F finns det ett udda antal Ts tilldelade till argumenten. I detta fall är f(F, F, …, F) = T.

Ett annat sätt att uttrycka detta är att varje variabel alltid gör en skillnad i funktionens sanningsvärde eller så gör den aldrig någon skillnad.

Negation, logiskt bikonditionellt, exklusivt eller, tautologi och motsägelse är linjära funktioner.