Toggle Main MenuToggle Search
Modul și argument
Diagrama Argand
Definiție
O diagramă Argand are o axă orizontală, denumită axa reală, și o axă verticală, denumită axa imaginară.
Un număr complex $z = a + bi$ se trasează la coordonatele $(a,b)$, deoarece $a$ este partea reală a numărului complex, iar $b$ partea imaginară.
|center
Exemplu de lucru
Exemplu 1
Plocați următoarele numere complexe pe o diagramă Argand.
\begin{align} z_1 &= 3+i \\ z_2 &= -2-4i \ z_3 &=-1+3i \ z_4 &= -.2i \end{align}
Soluție
Modul și argument
Definiție
Carecare număr complex $z$ poate fi reprezentat printr-un punct pe o diagramă Argand. Putem lega acest punct de origine cu un segment de dreaptă. Lungimea segmentului de dreaptă se numește modulul numărului complex și se notează $\lvert z \rvert$. Unghiul măsurat de la axa reală pozitivă la segmentul de dreaptă se numește argumentul numărului complex, notat $arg(z)$ și adesea etichetat $\theta$. Modulul și argumentul pot fi calculate folosind trigonometria.
|center
Modulul unui număr complex $z = a + b i$ este \
Când se calculează argumentul unui număr complex, trebuie să se aleagă între a lua valori în intervalul $$ sau în intervalul $$. Ambele sunt echivalente și la fel de valabile. Pe această pagină vom folosi convenția $-\pi \lt \theta \lt \pi$.
Modul „naiv” de a calcula unghiul până la un punct $(a,b)$ este de a folosi $\arctan(\frac{b}{a})$ dar, deoarece $\arctan$ ia valori doar în intervalul $$, acest lucru va da un rezultat greșit pentru coordonate cu componenta $x$ negativă. Puteți remedia acest lucru adăugând sau scăzând $\pi$, în funcție de cadranul diagramei Argand în care se află punctul.
- Primul cadran: $\theta = \arctan \stânga(\dfrac{b}{a}\dreapta)$.
- Cadranul al doilea: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\dreapta) + \pi$.
- Cadranul al treilea: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\dreapta) -\pi$.
- Cadrantul al patrulea: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\dreapta)$.
Este o idee bună să se deseneze o diagramă Argand a numărului complex atunci când se ia decizia asupra formulei de utilizat.
Nota: atenție la cazul în care $a=0$, adică numărul complex nu are parte reală. În acest caz, metoda $\arctan$ nu funcționează, dar argumentul este fie $\frac{\pi}{2}$, fie $-\frac{\pi}{2}$ pentru numere cu părți imaginare pozitive și, respectiv, negative.
Exemplu
$z_1=1+i$ are argumentul \
Cu toate acestea, același calcul pentru $z_2=-1-i$ dă $\arctan \left(\frac{-1}{-1}\right) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, același număr!
Dacă desenăm $z_2$ pe o diagramă Argand, putem vedea că se încadrează în cadranul al treilea, deci argumentul ar trebui să fie cuprins între $-\frac{\pi}{2}$ și $-\pi$. Trebuie să scădem $\pi$ pentru a corecta acest lucru și, prin urmare, obținem $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Exemple de lucru
Exemplu 1
Căutați modulul și argumentul numărului complex $z = 3+2i$.
Soluție
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{3^2+2^2}\\\ &=\sqrt{9+4}\\ &=\sqrt{13}\ &=\sqrt{13} \end{align}
Cum numărul complex se află în primul cadran al diagramei Argand, putem folosi $\arctan \frac{2}{3}$ fără modificări pentru a găsi argumentul.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}\right) \\\ &=0.59 \text{ radiani (la 2 d.p.)} }. \end{align}
Exemplul 2
Găsește modulul și argumentul numărului complex $z=4i$.
Soluția
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2}\\ &=\sqrt{16}\\ &=4 \end{align}
Cel mai simplu mod de a găsi argumentul este să ne uităm la o diagramă Argand și să trasăm punctul $(0,4)$. Punctul se află pe axa verticală pozitivă, deci \
Exemplul 3
Găsește modulul și argumentul numărului complex $z = -2+5i$.
Soluția
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2}\\ &=\sqrt{4+25}\\\ &=\sqrt{29} \end{align}
Cum $z$ se află în al doilea cadran al diagramei Argand, trebuie să adăugăm $\pi$ la rezultatul obținut din $\arctan \stânga(\frac{5}{-2}\dreapta)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}\dreapta) + \pi \\\ &=-1.19 + \pi \ &= 1.95 \text{ radiani (la 2 d.p.)} \end{align}
Exemplul 4
Găsește modulul și argumentul numărului complex $z = -4-3i$.
Soluție
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2}\\ &=\sqrt{16+9}\\ &=\sqrt{25}\\ &=5 \end{align}
Cum $z$ se află în cadranul al treilea al diagramei Argand, trebuie să scădem $\pi$ din rezultatul lui $\arctan \left(\frac{-3}{-4}\right)$.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}\dreapta) – \pi\\ &= \arctan \left(\frac{3}{4}\dreapta) – \pi\\ &= 0.64 – \pi \\ &= -2.50 \text{ radiani (la 2 d.p.)} \end{align}
Nota: Alternativ, răspunsul ar fi putut fi dat în intervalul $0 \lt \theta \lt 2\pi$, unde am fi adăugat $\pi$, în loc să-l scădem, și am fi obținut un răspuns de $\arg z = 3.67$ radiani (la 2 d.p.)
Exemplul 5
Găsește modulul și argumentul numărului complex $z = 1-4i$.
Soluția
|center
\begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2}\\ &=\sqrt{1+16}\\\ &=\sqrt{17} \end{align}
Cum $z$ se află în cadranul patru al diagramei Argand, nu trebuie să modificăm rezultatul lui $\arctan \left(\frac{-4}{1}\right)$ pentru a găsi argumentul.
\begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}\dreapta)\\ &= \arctan \left(-4\dreapta)\\ &= -1.33 \text{ radiani (la 2 d.p.)} \end{align}
Exemplu video
Prof. Robin Johnson desenează numerele complexe $z=-1-i$ și $z=-4+3i$ pe o diagramă Argand și găsește modulul și argumentul lor.
Carte de lucru
Acest caiet de lucru produs de HELM este un bun ajutor de recapitulare, conținând puncte cheie pentru recapitulare și multe exemple lucrate.
- Diagrame Argand și forma polară
Test Yourself
Test yourself: Testul Numbas privind găsirea modulului și a argumentului
.