Negarea
Uneori, în matematică, este important să se determine care este opusul unui anumit enunț matematic. Acest lucru se numește de obicei „negarea” unui enunț. Un lucru de reținut este că dacă un enunț este adevărat, atunci negația sa este falsă (iar dacă un enunț este fals, atunci negația sa este adevărată).
Să aruncăm o privire asupra unora dintre cele mai frecvente negații.
Negarea lui „A sau B”.
Înainte de a da răspunsul, să încercăm să facem acest lucru pentru un exemplu.
Considerăm afirmația „Ori ești bogat, ori ești fericit”. Pentru ca această afirmație să fie falsă, nu poți fi bogat și nu poți fi fericit. Cu alte cuvinte, opusul este să nu fii bogat și să nu fii fericit. Sau dacă o rescriem în termenii afirmației inițiale, obținem „Nu ești bogat și nu ești fericit”.
Dacă lăsăm A să fie enunțul „Ești bogat” și B să fie enunțul „Ești fericit”, atunci negația lui „A sau B” devine „Nu A și nu B.”
În general, avem același enunț: Negația lui „A sau B” este enunțul „Nu A și nu B.”
Negarea lui „A și B”.
Încă o dată, să analizăm mai întâi un exemplu.
Considerăm enunțul „Sunt atât bogat, cât și fericit”. Pentru ca această afirmație să fie falsă aș putea să nu fiu nici bogat, nici fericit. Dacă lăsăm A să fie afirmația „Sunt bogat” și B să fie afirmația „Sunt fericit”, atunci negația lui „A și B” devine „Nu sunt bogat sau nu sunt fericit” sau „Nu A sau Nu B”.
Negarea lui „Dacă A, atunci B”.
Pentru a nega un enunț de forma „Dacă A, atunci B” trebuie să-l înlocuim cu enunțul „A și Nu B”. Acest lucru ar putea părea confuz la început, așa că haideți să ne uităm la un exemplu simplu pentru a înțelege de ce este corect să facem acest lucru.
Considerați afirmația „Dacă sunt bogat, atunci sunt fericit”. Pentru ca această afirmație să fie falsă, ar trebui să fiu bogat și nu fericit. Dacă A este afirmația „Sunt bogat” și B este afirmația „Sunt fericit”, atunci negația lui „A $\Rightarrow$ B” este „Sunt bogat” = A, și „Nu sunt fericit” = nu B.
Deci negația lui „dacă A, atunci B” devine „A și nu B”.
Exemplu.
Acum să luăm în considerare o afirmație care implică ceva matematică. Să luăm afirmația „Dacă n este par, atunci $\frac{n}{2}$ este un număr întreg”. Pentru ca această afirmație să fie falsă, ar trebui să găsim un număr întreg par $n$ pentru care $\frac{n}{2}$ nu este un număr întreg. Deci, opusul acestei afirmații este afirmația că „$n$ este par și $\frac{n}{2}$ nu este un întreg.”
Negarea lui „Pentru fiecare…”, „Pentru toți…”, „Există…”
Câteodată întâlnim expresii precum „pentru fiecare”, „pentru orice”, „pentru toți” și „există” în enunțurile matematice.
Exemplu.
Considerați afirmația „Pentru toți numerele întregi $n$, fie $n$ este par, fie $n$ este impar.” Deși formularea este puțin diferită, aceasta este o afirmație de forma „Dacă A, atunci B”. Putem reformula această propoziție în felul următor: „Dacă $n$ este un număr întreg oarecare, atunci fie $n$ este par, fie $n$ este impar.”
Cum am putea nega această afirmație? Pentru ca această afirmație să fie falsă, tot ce ne-ar trebui este să găsim un singur număr întreg care să nu fie par și să nu fie impar. Cu alte cuvinte, negația este afirmația „Există un număr întreg $n$, astfel încât $n$ să nu fie par și $n$ să nu fie impar.”
În general, atunci când se neagă o afirmație care implică „pentru toți”, „pentru fiecare”, sintagma „pentru toți” se înlocuiește cu „există”. În mod similar, atunci când se neagă un enunț care implică „există”, sintagma „există” este înlocuită cu „pentru fiecare” sau „pentru toți”.”
Exemplu. Negați afirmația „Dacă toți oamenii bogați sunt fericiți, atunci toți oamenii săraci sunt triști”.
În primul rând, această afirmație are forma „Dacă A, atunci B”, unde A este afirmația „Toți oamenii bogați sunt fericiți”, iar B este afirmația „Toți oamenii săraci sunt triști”. Așadar, negația are forma „A și nu B”. Așadar, va trebui să negăm B. Negarea enunțului B este „Există o persoană săracă care nu este tristă”.
Punând toate acestea laolaltă rezultă: „Toți oamenii bogați sunt fericiți, dar există o persoană săracă care nu este tristă” ca negație a afirmației „Dacă toți oamenii bogați sunt fericiți, atunci toți oamenii săraci sunt triști.”
Rezumat.
| Enunț | Negație | |
| „A sau B” | „nu A și nu B” | |
| „A și B” | „nu A și nu B” | „nu A sau nu B” |
| „dacă A, atunci B” | „A și nu B” | |
| „Pentru orice x, A(x)” | „Există x astfel încât să nu existe A(x)” | |
| „Există x astfel încât să existe A(x)” | „Pentru orice x, nu A(x)” |