Linearitate

În matematică, o hartă liniară sau o funcție liniară f(x) este o funcție care satisface cele două proprietăți:

• Additivitate: f(x + y) = f(x) + f(y).
• Omogenitate de gradul 1: f(αx) = α f(x) pentru tot α.

Aceste proprietăți sunt cunoscute sub numele de principiul superpoziției. În această definiție, x nu este neapărat un număr real, ci poate fi în general un element al oricărui spațiu vectorial. O definiție mai specială a funcției liniare, care nu coincide cu definiția hărții liniare, este folosită în matematica elementară (vezi mai jos).

Doar aditivitatea implică omogenitatea pentru raționalul α, deoarece f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {\displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}.

implică f ( n x ) = n f ( x ) {\displaystyle f(nx)=nf(x)}

pentru orice număr natural n prin inducție matematică, și atunci n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)}

implică f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}}x)={\tfrac {n}{m}}}f(x)}

. Densitatea numerelor raționale în numerele reale implică faptul că orice funcție continuă aditivă este omogenă pentru orice număr real α și, prin urmare, este liniară.

Conceptul de liniaritate poate fi extins la operatorii liniari. Exemple importante de operatori liniari includ derivata considerată ca un operator diferențial și alți operatori construiți din aceasta, cum ar fi del și Laplacianul. Atunci când o ecuație diferențială poate fi exprimată în formă liniară, ea poate fi rezolvată, în general, prin descompunerea ecuației în bucăți mai mici, rezolvarea fiecăreia dintre aceste bucăți și însumarea soluțiilor.

Algebra liniară este ramura matematicii care se ocupă cu studiul vectorilor, al spațiilor vectoriale (numite și „spații liniare”), al transformărilor liniare (numite și „hărți liniare”) și al sistemelor de ecuații liniare.

Pentru o descriere a ecuațiilor liniare și neliniare, vezi ecuație liniară.

Polinoame liniareEdit

Într-o utilizare diferită de definiția de mai sus, se spune că un polinom de gradul 1 este liniar, deoarece graficul unei funcții de această formă este o linie dreaptă.

Pe reali, o ecuație liniară este una dintre formele:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b\}.

unde m se numește adesea panta sau gradientul; b interceptarea y, care dă punctul de intersecție între graficul funcției și axa y.

Rețineți că această utilizare a termenului liniar nu este aceeași cu cea din secțiunea de mai sus, deoarece polinoamele liniare pe numere reale nu satisfac în general nici aditivitatea, nici omogenitatea. De fapt, ele le satisfac dacă și numai dacă b = 0. Prin urmare, dacă b ≠ 0, funcția se numește adesea o funcție afină (vezi în generalitate mai mare transformarea afină).

Funcții booleeneEdit

În algebra booleană, o funcție liniară este o funcție f {\displaystyle f}

pentru care există a 0 , a 1 , … , a n ∈ {0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\în \{0,1\}}.

astfel încât f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {\displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus \cdots \oplus (a_{n}\land b_{n})\oplus (a_{n}\land b_{n})}

, unde b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\în \{0,1\}.}.

Rețineți că dacă a 0 = 1 {\displaystyle a_{0}=1}

, funcția de mai sus este considerată afină în algebra liniară (adică nu este liniară).

O funcție booleană este liniară dacă pentru tabelul de adevăr al funcției este valabil unul dintre următoarele:

1. În fiecare rând în care valoarea de adevăr a funcției este T, există un număr impar de Ts atribuite argumentelor, iar în fiecare rând în care funcția este F există un număr par de Ts atribuite argumentelor. Mai precis, f(F, F, F, …, F) = F, iar aceste funcții corespund unor hărți liniare peste spațiul vectorial boolean.
2. În fiecare rând în care valoarea de adevăr a funcției este T, există un număr par de Ts atribuite argumentelor funcției; și în fiecare rând în care valoarea de adevăr a funcției este F, există un număr impar de Ts atribuite argumentelor. În acest caz, f(F, F, F, …, F) = T.

O altă modalitate de a exprima acest lucru este că fiecare variabilă face întotdeauna o diferență în valoarea de adevăr a operației sau nu face niciodată o diferență.

Negarea, bicondiționalul logic, sau exclusiv, tautologia și contradicția sunt funcții liniare.