Przełącz Menu głównePrzełącz Szukaj
Modulus i Argument
Diagram Arganda
Definicja
Diagram Arganda ma oś poziomą, zwaną osią rzeczywistą, i oś pionową, zwaną osią urojoną.
Liczba zespolona $z = a + bi$ jest wykreślona na współrzędnych $(a,b)$, ponieważ $a$ jest częścią rzeczywistą liczby zespolonej, a $b$ częścią urojoną.
|center
Przykład praktyczny
Przykład 1
Wykreśl następujące liczby zespolone na diagramie Arganda.
begin{align} z_1 &= 3+i z_2 &= -2-4i z_3 &=-1+3i z_4 &= -.2i \ end{align}
Rozwiązanie
Modulus i argument
Definicja
Każdą liczbę złożoną $z$ możemy przedstawić w postaci punktu na diagramie Arganda. Możemy połączyć ten punkt z początkiem za pomocą odcinka linii. Długość odcinka nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy $z$. Kąt mierzony od dodatniej osi rzeczywistej do odcinka nazywany jest argumentem liczby zespolonej, oznaczany jako $arg(z)$ i często oznaczany jako $theta$. Modul i argument można obliczyć za pomocą trygonometrii.
|center
Moduł liczby zespolonej $z = a + b i$ wynosi ∗
Przy obliczaniu argumentu liczby zespolonej należy dokonać wyboru między przyjmowaniem wartości z przedziału $$ lub z przedziału $$. Oba są równoważne i równie ważne. Na tej stronie będziemy używać konwencji $-arctan(\frac{b}{a})$, ale ponieważ $arctan$ przyjmuje wartości tylko w przedziale $$, da to błędny wynik dla współrzędnych z ujemnym składnikiem $x$. Można to naprawić dodając lub odejmując $pi$, w zależności od tego, w którym kwadrancie diagramu Arganda leży punkt.
- Pierwszy kwadrant: $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}}right)$.
- Drugi kwadrant: $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}}right) + \pi$.
- Trzeci kwadrant: $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}right) – \pi$.
- Czwarty kwadrant: $theta = ∗arctan ∗left(∗dfrac{b}{a}}right)$.
Dobrym pomysłem jest narysowanie diagramu Arganda liczby zespolonej podczas podejmowania decyzji, z którego wzoru skorzystać.
Uwaga: należy uważać na przypadek, gdy $a=0$, tzn. liczba zespolona nie ma części rzeczywistej. W tym przypadku metoda $arctan$ nie działa, ale argumentem jest albo $frac{pi}{2}$, albo $-frac{pi}{2}$ dla liczb z dodatnią i ujemną częścią urojoną, odpowiednio.
Przykład
$z_1=1+i$ ma argument \i$
Jednakże to samo obliczenie dla $z_2=-1-i$ daje $arctan \left(\frac{-1}{-1}}right) = \arctan (1) = \dfrac{\i}{4}$, tę samą liczbę!
Jeśli narysujemy $z_2$ na diagramie Arganda, to widzimy, że wypada on w trzecim kwadrancie, więc argument powinien znajdować się między $frac{pi}{2}$ a $-pi$. Aby to poprawić musimy odjąć $pi$ i dlatego otrzymujemy $arg z_2 = -dfrac{3\pi}{4}$.
Przykłady do pracy
Przykład 1
Znajdź moduł i argument liczby zespolonej $z = 3+2i$.
Rozwiązanie
|center
begin{align} &= \sqrt{3^2+2^2} &= \sqrt{9+4} &= \sqrt{13} \end{align}
Jako że liczba zespolona leży w pierwszym kwadrancie diagramu Arganda, możemy bez modyfikacji użyć $arctan \frac{2}{3}$ do znalezienia argumentu.
begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{2}{3}}prawej) \ &=0,59 \text{ radianów (do 2 d.p.)} \end{align}
Przykład 2
Znajdź modulus i argument liczby zespolonej $z=4i$.
Rozwiązanie
|center
begin{align} &= \sqrt{0^2+4^2} &= \sqrt{16} &=4 \end{align}
Najprostszym sposobem znalezienia argumentu jest spojrzenie na wykres Arganda i wykreślenie punktu $(0,4)$. Punkt ten leży na dodatniej osi pionowej, więc
Przykład 3
Znajdź modulus i argument liczby zespolonej $z = -2+5i$.
Rozwiązanie
|center
begin{align} &= \sqrt{(-2)^2+5^2} &= \sqrt{4+25} &= \sqrt{29} \end{align}
Jako że $z$ znajduje się w drugiej ćwiartce diagramu Arganda, musimy dodać $pi$ do wyniku otrzymanego z $arctan ∗left(∗frac{5}{-2}}right)$.
begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}}prawej) + \pi \ &=-1,19 + \pi \1203>= 1,95 \text{ radianów (do 2 d.p.)} \end{align}
Przykład 4
Znajdź modulus i argument liczby zespolonej $z = -4-3i$.
Rozwiązanie
|center
begin{align} \ z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2} &= \sqrt{16+9} &= \sqrt{25} &=5 \end{align}
Ponieważ $z$ leży w trzecim kwadrancie diagramu Arganda, musimy odjąć $pi$ od wyniku działania $arctan ∗lewa(∗frac{-3}{-4}}prawa)$.
begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}}prawa) – \pi \1203>= \arctan \left(\frac{3}{4}prawa) – \pi \1203>= 0.64 – \pi \1203>= -2.50 \tekst { radianów (do 2 d.p.)} \end{align}
Uwaga: Alternatywnie można było podać odpowiedź w przedziale $0 \t \t \t 2 \pi$, gdzie dodalibyśmy $pi$, zamiast odjąć, i otrzymalibyśmy odpowiedź $arg z = 3.67$ radianów (do 2 d.p.)
Przykład 5
Znajdź modulus i argument liczby zespolonej $z = 1-4i$.
Rozwiązanie
|center
begin{align} \ z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2} &= \sqrt{1+16} &= \sqrt{17} \end{align}
Jako że $z$ leży w czwartej ćwiartce diagramu Arganda, nie musimy modyfikować wyniku działania $arctan \left(\frac{-4}{1}}right)$, aby znaleźć argument.
begin{align} \arg z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}}prawo)\ &= \arctan \left(-4}prawo)\= -1,33 \text{ radianów (do 2 d.p.)} \end{align}
Przykład wideo
Prof. Robin Johnson rysuje liczby zespolone $z=-1-i$ i $z=-4+3i$ na diagramie Arganda oraz znajduje ich moduł i argument.
Workbook
Ten zeszyt ćwiczeń wyprodukowany przez HELM jest dobrą pomocą do powtórki, zawierającą kluczowe punkty do powtórki i wiele przepracowanych przykładów.
- Argand diagrams and polar form
Test Yourself
Sprawdź się: Test Numbasa na znajdowanie modułu i argumentu
.