Czym jest zero podniesione do potęgi zero? To jest pytanie, które zadano ponad 35 miliardów i 378 milionów razy. I 98% ludzi nie odpowiedziało na nie poprawnie.
Po pierwsze, co oznacza 2⁵? To znaczy 2 razy 2 razy 2 razy 2 razy 2. Innymi słowy, pomnóż 2 przez siebie 5 razy. Teraz możemy powiedzieć, że 0⁰ oznacza „pomnożyć zero przez siebie 0 razy”. Hmmm, to niezręczne.
Pójdźmy w różne strony i znajdźmy inne potęgi.
Odtąd, gdy zobaczymy równanie wykładnicze, takie jak 0⁹ = 0 , powiemy „zero do dziewiątej potęgi to zero”.
Wygląda na to, że 0⁰ = 0. Ale 0 do potęgi -5 to 1 nad 0, które jest nieokreślone i tak samo jest z 0 do potęgi -100. Ujemne wykładniki wskazują, że 0⁰ powinno być nieokreślone.
Zaatakujmy to z innej strony. Inne liczby podniesione do 0 równają się 1.
Ten wzór wskazuje, że 0⁰ też powinno być 1. Wygląda więc na to, że nie ma na pewno jakiegoś konkretnego dokładnego rozwiązania? Które jest dokładne? Niemniej jednak w zależności od sytuacji, pracujesz w jednej odpowiedzi może być lepsze niż inne. Najlepsze wyjaśnienie powinno być wiarygodne, zmniejszać niepotrzebną złożoność i być korzystne.
Większość teoretyków wybiera, że w wielu przypadkach 1 jest najdoskonalszą definicją dla 0⁰. Przyjrzyjmy się dwóm powodom takiego stanu rzeczy. Podwyższenie do b może być postrzegane jako ilość zbiorów elementów b, które mogą być wybrane ze zbioru elementów a.
Na przykład 2¹ może być obserwowane jako ilość zbiorów jednego elementu, które mogą być wybrane ze zbioru dwóch elementów.
A 0⁰ to ilość zbiorów elementów zerowych, które można wybrać ze zbioru elementów zerowych. Która musi wynosić 1! Zatem 1 jest jedyną definicją wiarygodną przy takim rozumieniu wykładania.
W tym ujęciu każda inna definicja niepotrzebnie gmatwałaby sprawy. Dla innego przypadku, w którym 0⁰= 1 jest korzystną definicją, spójrzmy na twierdzenie dwumianowe.
Ponieważ x = 0, upraszcza się to do 1 = 0⁰ – 1. W tym punkcie jedynym wyjaśnieniem dla 0⁰, które poprawnie konstruuje twierdzenie dwumianowe, jest 1. Również w tym przypadku 0⁰= 1 jest jedyną definicją, która pozwala uniknąć niepotrzebnej złożoności. Jednak, w zależności od rodzaju matematyki, którą się zajmujemy, 1 może nie być stale najlepszą definicją.
Na przykład spójrzmy na pewne granice. Granicą funkcji w punkcie a jest wartość funkcji zbliża się jak jego wejście zbliża się a. Jesteśmy zaangażowani w granicach postaci 0⁰ gdy x = 0. Prosty jest granicą x⁰ jak x zbliża się 0. Ponieważ x⁰ = 1 we wszystkich innych punktach, jego granica w 0 jest 1, jak również. To zdaje się sprawdzać, że 0⁰ = 1.
Niemniej jednak istnieją inne granice postaci 0⁰ o różnych wartościach! Granica podniesienia 0 do x od prawej strony wynosi 0… A od lewej jest nieokreślona. A inne granice postaci 0⁰ mogą mieć dowolną wartość, jak ta, która jest e.
Te konflikty są dobrymi powodami, by nazywać 0⁰ „formą nieokreśloną” lub „nieokreśloną”, gdy mamy do czynienia z granicami. Są to jedyne definicje, które są zgodne ze sposobem, w jaki definiujemy granice.
Czym więc jest 0⁰? To zależy! Często najlepszą odpowiedzią jest 1. Jednakże, gdy mamy do czynienia z granicami, „nieokreślony” lub „nieokreślona forma” os bardziej sensowne. W zależności od rodzaju matematyki, którą uprawiamy, nawet definicje i konwencje mogą się zmieniać!