Negacja
Czasami w matematyce ważne jest określenie, co jest przeciwieństwem danego twierdzenia matematycznego. Jest to zwykle określane jako „negacja” stwierdzenia. Jedną rzeczą, o której należy pamiętać, jest to, że jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, to jego negacja jest fałszywa (a jeśli stwierdzenie jest fałszywe, to jego negacja jest prawdziwa).
Przyjrzyjrzyjmy się niektórym z najczęściej spotykanych negacji.
Negacja „A lub B”.
Przed udzieleniem odpowiedzi spróbujmy zrobić to na przykładzie.
Rozważmy stwierdzenie „Jesteś albo bogaty, albo szczęśliwy.” Aby to stwierdzenie było fałszywe, nie możesz być bogaty i nie możesz być szczęśliwy. Innymi słowy, przeciwieństwem jest bycie nie bogatym i nie szczęśliwym. Lub jeśli przeformułujemy to w kategoriach oryginalnego stwierdzenia otrzymamy „Nie jesteś bogaty i nie jesteś szczęśliwy”.
Jeśli pozwolimy A być stwierdzeniem „Jesteś bogaty” i B być stwierdzeniem „Jesteś szczęśliwy”, wtedy negacja „A lub B” staje się „Nie A i Nie B.”
W ogólności mamy to samo stwierdzenie: Negacją „A lub B” jest stwierdzenie „Nie A i Nie B.”
Negacja „A i B”.
Ponownie, przeanalizujmy najpierw przykład.
Rozważmy stwierdzenie „Jestem zarówno bogaty jak i szczęśliwy.” Aby to stwierdzenie było fałszywe, mógłbym być albo nie bogaty, albo nie szczęśliwy. Jeśli pozwolimy A być stwierdzeniem „Jestem bogaty”, a B stwierdzeniem „Jestem szczęśliwy”, to negacja „A i B” staje się „Nie jestem bogaty lub nie jestem szczęśliwy” lub „Nie A lub Nie B”.
Negacja „Jeśli A, to B”.
Aby zanegować stwierdzenie w postaci „Jeśli A, to B” powinniśmy zastąpić je stwierdzeniem „A i nie B”. Na początku może się to wydawać mylące, więc spójrzmy na prosty przykład, aby pomóc zrozumieć, dlaczego jest to właściwa rzecz do zrobienia.
Rozważmy stwierdzenie „Jeśli jestem bogaty, to jestem szczęśliwy”. Aby to stwierdzenie było fałszywe, musiałbym być bogaty, a nie szczęśliwy. Jeśli A jest stwierdzeniem „jestem bogaty”, a B jest stwierdzeniem „jestem szczęśliwy”, to negacją „A $prawda$ B” jest „jestem bogaty” = A, a „nie jestem szczęśliwy” = nie B.
Więc negacją „jeśli A, to B” staje się „A i nie B”.
Przykład.
Rozważmy teraz stwierdzenie związane z pewną matematyką. Weźmy stwierdzenie „Jeśli n jest parzyste, to $frac{n}{2}$ jest liczbą całkowitą”. Aby to stwierdzenie było fałszywe, musielibyśmy znaleźć parzystą liczbę całkowitą $n$, dla której $frac{n}{2}$ nie byłoby liczbą całkowitą. Zatem przeciwieństwem tego stwierdzenia jest stwierdzenie, że „$n$ jest parzyste i $frac{n}{2}$ nie jest liczbą całkowitą.”
Negacja „For every …”, „For all …”, „There exists …”
Czasami w wypowiedziach matematycznych spotykamy zwroty takie jak „for every”, „for any”, „forall” i „there exists”.
Przykład.
Rozważmy stwierdzenie „For all integers $n$, either $n$ is even or $n$ is odd”.Although the phrasing is a bit different, this is a statement of the form „If A, then B.” Możemy przeformułować to zdanie w następujący sposób: „Jeśli $n$ jest dowolną liczbą całkowitą, to albo $n$ jest parzyste, albo $n$ jest nieparzyste.”
Jak zanegowalibyśmy to stwierdzenie? Aby to stwierdzenie było fałszywe, musielibyśmy tylko znaleźć jedną liczbę całkowitą, która nie jest parzysta i nieparzysta. Innymi słowy, negacją jest stwierdzenie „Istnieje liczba całkowita $n$, tak że $n$ nie jest parzysta i $n$ nie jest nieparzysta.”
Ogólnie, gdy negujemy stwierdzenie zawierające „dla wszystkich”, „dla każdego”, wyrażenie „dla wszystkich” zostaje zastąpione przez „istnieje”. Podobnie, przy negacji stwierdzenia obejmującego „istnieje”, fraza „istnieje” zostaje zastąpiona przez „dla każdego” lub „dla wszystkich.”
Przykład. Zaneguj stwierdzenie „Jeśli wszyscy bogaci ludzie są szczęśliwi, to wszyscy biedni ludzie są smutni.”
Po pierwsze, stwierdzenie to ma postać „Jeśli A, to B”, gdzie A jest stwierdzeniem „Wszyscy bogaci ludzie są szczęśliwi”, a B jest stwierdzeniem „Wszyscy biedni ludzie są smutni”. Negacja ma więc postać „A i nie B”. Będziemy więc musieli zanegować B. Negacją stwierdzenia B jest „Istnieje biedny człowiek, który nie jest smutny”.
Połączenie tego razem daje: „Wszyscy bogaci ludzie są szczęśliwi, ale istnieje biedny człowiek, który nie jest smutny” jako negację stwierdzenia „Jeśli wszyscy bogaci ludzie są szczęśliwi, to wszyscy biedni ludzie są smutni.”
Podsumowanie.
| Stwierdzenie | Negacja |
| „A lub B” | „nie A i nie B” |
| „A i B” | „nie A lub nie B” |
| „jeśli A, to B” | „A i nie B” |
| „Dla wszystkich x, A(x)” | „Istnieją x takie, że nie A(x)” |
| „Istnieje x takie, że A(x)” | „Dla każdego x, nie A(x)” |
.