W matematyce mapa liniowa lub funkcja liniowa f(x) to funkcja, która spełnia dwie własności:
- Addytywność: f(x + y) = f(x) + f(y).
- Jednorodność stopnia 1: f(αx) = α f(x) dla wszystkich α.
Właściwości te znane są jako zasada superpozycji. W tej definicji x nie musi być liczbą rzeczywistą, ale w ogólności może być elementem dowolnej przestrzeni wektorowej. Bardziej specjalna definicja funkcji liniowej, nie pokrywająca się z definicją mapy liniowej, jest używana w matematyce elementarnej (patrz niżej).
Sama addytywność implikuje jednorodność dla racjonalnego α, ponieważ f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {f(x+x)=f(x)+f(x)}
implikuje f ( n x ) = n f ( x ) {displaystyle f(nx)=nf(x)}
dla dowolnej liczby naturalnej n przez indukcję matematyczną, a następnie n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{tfrac {n}{m}}x)=mf({tfrac {n}{m}}x)}
implikuje f ( n m x ) = n m f ( x ) {{tfrac {n}{m}}x)={tfrac {n}{m}}f(x)}
. Gęstość liczb racjonalnych w liczbach rzeczywistych implikuje, że każda funkcja ciągła addytywna jest jednorodna dla dowolnej liczby rzeczywistej α, a więc jest liniowa.
Pojęcie liniowości może być rozszerzone na operatory liniowe. Ważnymi przykładami operatorów liniowych są pochodna traktowana jako operator różniczkowy oraz inne operatory z niej zbudowane, takie jak del i Laplacian. Kiedy równanie różniczkowe może być wyrażone w postaci liniowej, może być na ogół rozwiązane przez rozbicie równania na mniejsze części, rozwiązanie każdej z tych części i zsumowanie rozwiązań.
Algebra liniowa jest gałęzią matematyki zajmującą się badaniem wektorów, przestrzeni wektorowych (zwanych również „przestrzeniami liniowymi”), przekształceń liniowych (zwanych również „mapami liniowymi”) i układów równań liniowych.
Opis równań liniowych i nieliniowych znajduje się w równaniach liniowych.
Wielomiany linioweEdit
W innym użyciu niż powyższa definicja, wielomian stopnia 1 mówi się, że jest liniowy, ponieważ wykres funkcji tej postaci jest linią prostą.
Na przestrzeni liczb rzeczywistych równanie liniowe ma jedną z postaci:
f ( x ) = m x + b {{displaystyle f(x)=mx+b }
gdzie m jest często nazywane nachyleniem lub gradientem; b – punktem przecięcia wykresu funkcji z osią y.
Zauważ, że to użycie terminu liniowy nie jest takie samo jak w sekcji powyżej, ponieważ wielomiany liniowe nad liczbami rzeczywistymi w ogólności nie spełniają ani addytywności, ani jednorodności. W rzeczywistości, robią to wtedy i tylko wtedy, gdy b = 0. Stąd, jeśli b ≠ 0, funkcja jest często nazywana funkcją afiniczną (patrz w większej ogólności transformacja afiniczna).
Funkcje booleańskieEdit
W algebrze Boole’a, funkcja liniowa jest funkcją f {{displaystyle f}}
dla której istnieją a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {displaystyle a_{0},a_{1},∈ ,a_{n}}}
takie, że f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {displaystyle f(b_{1},ldots ,b_{n})=a_{0} ⊕oplus (a_{1},b_{1})⊕ ⊕ ⊕ ( a_{n},b_{n})}
, gdzie b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . {{displaystyle b_{1},∈ b_{n}}} w ∈ {0,1}}.
Zauważ, że jeśli a 0 = 1 {displaystyle a_{0}=1}.
, powyższa funkcja jest uważana za afiniczną w algebrze liniowej (tzn. nie jest liniowa).
Funkcja Boole’a jest liniowa, jeśli w tablicy prawdy tej funkcji zachodzi jedna z następujących sytuacji:
- W każdym wierszu, w którym wartością prawdy funkcji jest T, do argumentów przypisana jest nieparzysta liczba Ts, a w każdym wierszu, w którym funkcją jest F, do argumentów przypisana jest parzysta liczba Ts. Konkretnie, f(F, F, …, F) = F, a funkcje te odpowiadają mapom liniowym na wektorowej przestrzeni boole’owskiej.
- W każdym wierszu, w którym wartością funkcji jest T, do argumentów funkcji przypisana jest parzysta liczba Ts, a w każdym wierszu, w którym wartością prawdziwą funkcji jest F, do argumentów przypisana jest nieparzysta liczba Ts. W tym przypadku f(F, F, …, F) = T.
Innym sposobem wyrażenia tego jest to, że każda zmienna zawsze robi różnicę w wartości prawdziwościowej operacji lub nigdy nie robi różnicy.
Negacja, logiczny dwuwarunek, wyłączne lub, tautologia i sprzeczność są funkcjami liniowymi.
.