Toggle Main MenuToggle Search
Modulus en Argument
Het diagram van Argand
Definitie
Een diagram van Argand heeft een horizontale as, de reële as genoemd, en een verticale as, de imaginaire as genoemd.
Een complex getal $z = a + bi$ wordt uitgezet op coördinaten $(a,b)$, want $a$ is het reële deel van het complexe getal, en $b$ het imaginaire deel.
|center
Worked Example
Example 1
Plot de volgende complexe getallen op een Arganddiagram.
begin{align} z_1 &= 3+i \ z_2 &= -2-4i \ z_3 &=-1+3i \ z_4 &= -2i einde{align}
Oplossing
Modulus en Argument
Definitie
Elk complex getal $z$ kan voorgesteld worden door een punt op een Arganddiagram. We kunnen dit punt verbinden met de oorsprong door een lijnstuk. De lengte van het lijnstuk heet de modulus van het complexe getal en wordt aangeduid met $ z \rvert$. De hoek gemeten vanaf de positieve reele as naar het lijnstuk noemt men het argument van het complex getal, aangeduid met $arg(z)$ en vaak aangeduid met $theta$. De modulus en het argument kunnen met goniometrie berekend worden.
|center
De modulus van een complex getal $z = a + b i$ is \
Bij het berekenen van het argument van een complex getal moet men kiezen tussen waarden in het bereik $$ of in het bereik $$. Beide zijn gelijkwaardig en even geldig. Op deze bladzijde gebruiken we de conventie $-(a,b)$ en $-(a,b)$.
De ‘naïeve’ manier om de hoek met een punt $(a,b)$ te berekenen is met $\arctan(\frac{b}{a})$, maar omdat $\arctan$ alleen waarden in het bereik $$ neemt, geeft dit het verkeerde resultaat voor coördinaten met een negatieve $x$-component. Je kunt dit oplossen door $\pi$ op te tellen of af te trekken, afhankelijk van in welk kwadrant van het Arganddiagram het punt ligt.
- Eerste kwadrant: $\theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}\rechts)$.
- Tweede kwadrant: $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}rechts) + \pi$.
- Derde kwadrant: $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}rechts) – \pi$.
- Vierde kwadrant: $theta = \arctan \left(\dfrac{b}{a}rechts)$.
Het is een goed idee om een Arganddiagram van het complexe getal te tekenen als je beslist welke formule je gaat gebruiken.
Note: let op voor het geval dat $a=0$, d.w.z. dat het complexe getal geen reëel deel heeft. In dat geval werkt de methode $\arctan$ niet, maar is het argument $\frac{\pi}{2}$ of $-\frac{\pi}{2}$ voor getallen met respectievelijk positieve en negatieve imaginaire delen.
Voorbeeld
$z_1=1+i$ heeft het argument \8013>
Dezelfde berekening voor $z_2=-1-i$ geeft echter $\arctan \left(\frac{-1}{-1}rechts) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, hetzelfde getal!
Als we $z_2$ op een Arganddiagram tekenen, zien we dat het in het derde kwadrant valt, dus het argument moet tussen $-\frac{\pi}{2}$ en $-\pi$ liggen. We moeten $_pi$ aftrekken om dit te corrigeren en krijgen dus $-z_2 = -\frac{3\pi}{4}$.
Worked Examples
Example 1
Vind de modulus en het argument van het complexe getal $z = 3+2i$.
Oplossing
|center
begin{align} &= #3^2+2^2} #1203>= #9+4} #1203>= #13} #1203>= #13} \Aangezien het complexe getal in het eerste kwadrant van het Arganddiagram ligt, kunnen we $parctan \frac{2}{3}$ zonder aanpassing gebruiken om het argument te vinden.
begin{align} \z &= \arctan \left(\frac{2}{3}rechts) \ &=0.59 \tekst{ radialen (tot 2 d.p.)}
Voorbeeld 2
Vind de modulus en het argument van het complexe getal $z=4i$.
Oplossing
|center
begin{align} \lvert z \rvert &= \sqrt{0^2+4^2} &=\sqrt{16} &=4 \eind{align}
De eenvoudigste manier om het argument te vinden is te kijken naar een Arganddiagram en het punt $(0,4)$ te plotten. Het punt ligt op de positieve verticale as, dus
Voorbeeld 3
Vind de modulus en het argument van het complexe getal $z = -2+5i$.
Oplossing
|center
>begin{align} \z \rvert &= \sqrt{(-2)^2+5^2} &=sqrt{4+25} &=sqrt{29} \Aangezien $z$ in het tweede kwadrant van het diagram van Argand ligt, moeten we $pi$ toevoegen aan het resultaat van $arctan \left(\frac{5}{-2}right)$.
begin{align} \z &= \arctan \left(\frac{5}{-2}rechts) + \pi \1203>=-1.19 + \pi \1203>= 1.95 \tekst{ radialen (tot 2 d.p.)}
Voorbeeld 4
Vind de modulus en het argument van het complexe getal $z = -4-3i$.
Oplossing
|center
begin{align} \z \rvert &= \sqrt{(-4)^2+(-3)^2} &=\sqrt{16+9} &=\sqrt{25} &=5 \eind{align}
Als $z$ in het derde kwadrant van het Arganddiagram ligt, moeten we $2pi$ aftrekken van het resultaat van $1,00(\frac{-3}{-4}rechts)$.
begin{align} \z &= \arctan \left(\frac{-3}{-4}rechts) – \pi &= \arctan \left(\frac{3}{4}rechts) – \pi &= 0.64 – \pi \1203>= -2.50 \text{ radialen (tot 2 d.p.)}
Noot: Het antwoord had ook gegeven kunnen worden in het bereik $0 \lt \theta \lt 2 \pi$, waarbij we $pi$ hadden kunnen optellen, in plaats van aftrekken, en we een antwoord hadden gekregen van $0 \lt z = 3.67$ radialen (tot 2 d. p.)
Aanvulling: Het antwoord had ook gegeven kunnen worden in het bereik $0 \lt \theta \lt 2 d. p.p.)
Voorbeeld 5
Vind de modulus en het argument van het complexe getal $z = 1-4i$.
Oplossing
|center
begin{align} \z \rvert &= \sqrt{1^2+(-4)^2} &=\sqrt{1+16} &=\sqrt{17} \Aangezien $z$ in het vierde kwadrant van het Arganddiagram ligt, hoeven we het resultaat van $arctan \left(\frac{-4}{1}right)$ niet te wijzigen om het argument te vinden.
begin{align} \z &= \arctan \left(\frac{-4}{1}rechts)\ &= \arctan \left(-4}rechts) \ &= -1.33 radialen (tot 2 d.p.)}
Video Voorbeeld
Prof. Robin Johnson tekent de complexe getallen $z=-1-i$ en $z=-4+3i$ op een Arganddiagram, en vindt hun modulus en argument.
Werkboek
Dit door HELM geproduceerde werkboek is een goed hulpmiddel bij de herziening en bevat de belangrijkste punten voor herziening en veel uitgewerkte voorbeelden.
- Arganddiagrammen en poolvormen
Test jezelf
Test jezelf: Numbas test voor het vinden van de modulus en het argument