Negatie
Soms is het in de wiskunde belangrijk om te bepalen wat het tegengestelde is van een gegeven wiskundige uitspraak. Dit wordt meestal “negatie” van een uitspraak genoemd. U moet in gedachten houden dat als een uitspraak waar is, de negatie ervan onwaar is (en als een uitspraak onwaar is, de negatie ervan waar is).
Laten we eens kijken naar enkele van de meest voorkomende negaties.
Negatie van “A of B”.
Voordat we het antwoord geven, proberen we dit met een voorbeeld te doen.
Overweeg de uitspraak “Je bent óf rijk óf gelukkig.” Wil deze uitspraak onwaar zijn, dan kun je niet rijk zijn en ook niet gelukkig. Met andere woorden, het tegenovergestelde is niet rijk en niet gelukkig zijn. Of als we het herschrijven in termen van de oorspronkelijke uitspraak, krijgen we “Je bent niet rijk en niet gelukkig.”
Als we A laten staan voor de uitspraak “Je bent rijk” en B voor de uitspraak “Je bent gelukkig”, dan wordt de negatie van “A of B” “Niet A en niet B.”
In het algemeen hebben we dezelfde uitspraak: De negatie van “A of B” is de uitspraak “Niet A en niet B.”
Negatie van “A en B”.
Opnieuw, laten we eerst een voorbeeld analyseren.
Overweeg de uitspraak “Ik ben zowel rijk als gelukkig.” Om deze uitspraak onwaar te laten zijn, kan ik ofwel niet rijk ofwel niet gelukkig zijn. Als we A de uitspraak laten zijn “Ik ben rijk” en B de uitspraak “Ik ben gelukkig”, dan wordt de negatie van “A en B” “Ik ben niet rijk of ik ben niet gelukkig” of “Niet A of niet B”.
Negatie van “Als A, dan B”.
Om een uitspraak van de vorm “Als A, dan B” te ontkennen, moeten we deze vervangen door de uitspraak “A en niet B”. Dit kan op het eerste gezicht verwarrend lijken, dus laten we een eenvoudig voorbeeld bekijken om te helpen begrijpen waarom dit de juiste manier is om te doen.
Beschouw de uitspraak “Als ik rijk ben, dan ben ik gelukkig.” Om deze uitspraak onwaar te laten zijn, zou ik rijk moeten zijn en niet gelukkig. Als A de uitspraak is “Ik ben rijk” en B de uitspraak “Ik ben gelukkig”, dan is de negatie van “A $rechts$ B” “Ik ben rijk” = A, en “Ik ben niet gelukkig” = niet B.
Dus de negatie van “als A, dan B” wordt “A en niet B”.
Voorbeeld.
Nu bekijken we een uitspraak waarbij enige wiskunde komt kijken. Neem de uitspraak “Als n even is, dan is $\frac{n}{2}$ een geheel getal.” Om deze uitspraak onwaar te laten zijn, zouden we een even geheel getal $n$ moeten vinden waarvoor $\frac{n}{2}$ geen geheel getal is. Het tegendeel van deze uitspraak is dus de uitspraak “$n$ is even en $\frac{n}{2}$ is geen geheel getal.”
Negatie van “Voor elke …”, “Voor alle …”, “Er bestaat …”
Soms komen we in wiskundige uitspraken zinnen tegen als “voor elke,” “voor elke,” “voor alle” en “er bestaat”.
Voorbeeld.
Beschouw de uitspraak “Voor alle gehele getallen $n$ is ofwel $n$ even ofwel $n$ oneven”.Hoewel de formulering een beetje anders is, is dit een uitspraak van de vorm “Als A, dan B.” We kunnen deze zin als volgt herformuleren: “Als $n$ een geheel getal is, dan is $n$ even of $n$ oneven.”
Hoe kunnen we deze uitspraak ontkennen? Om deze uitspraak onwaar te laten zijn, hoeven we alleen maar één geheel getal te vinden dat niet even en niet oneven is. Met andere woorden, de ontkenning is de uitspraak “Er bestaat een geheel getal $n$, zodat $n$ niet even en $n$ niet oneven is.”
In het algemeen wordt bij het ontkennen van een uitspraak met “voor alle”, “voor elk”, de zinsnede “voor alle” vervangen door “er bestaat”. Op dezelfde manier wordt bij het ontkennen van een uitspraak met “er bestaat” de zin “er bestaat” vervangen door “voor elk” of “voor allen.”
Voorbeeld. Ontken de uitspraak “Als alle rijke mensen gelukkig zijn, dan zijn alle arme mensen verdrietig.”
Vooreerst heeft deze uitspraak de vorm “Als A, dan B”, waarbij A de uitspraak “Alle rijke mensen zijn gelukkig” is en B de uitspraak “Alle arme mensen zijn verdrietig.” Dus de ontkenning heeft de vorm “A en niet B.” Dus moeten we B ontkennen. De ontkenning van de uitspraak B is “Er bestaat een arm persoon die niet verdrietig is.”
Dit samenvoegen geeft: “Alle rijke mensen zijn gelukkig, maar er bestaat een arme die niet verdrietig is” als de negatie van “Als alle rijke mensen gelukkig zijn, dan zijn alle arme mensen verdrietig.”
Samenvatting.
| Verklaring | Negatie |
| “A of B” | “niet A en niet B” |
| “A en B” | “niet A of niet B” |
| “als A, dan B” | “A en niet B” |
| “Voor alle x, A(x)” | “Er bestaan x zodanig dat niet A(x).” |
| “Er bestaan x zodanig dat A(x).” | “Voor elke x, niet A(x).” |