Lineariteit

In de wiskunde is een lineaire kaart of lineaire functie f(x) een functie die aan de volgende twee eigenschappen voldoet:

• Additiviteit: f(x + y) = f(x) + f(y).
• Homogeniteit van graad 1: f(αx) = α f(x) voor alle α.

Deze eigenschappen staan bekend als het superpositiebeginsel. In deze definitie is x niet noodzakelijk een reëel getal, maar kan het in het algemeen een element van een willekeurige vectorruimte zijn. Een meer speciale definitie van lineaire functie, die niet samenvalt met de definitie van lineaire kaart, wordt gebruikt in de elementaire wiskunde (zie hieronder).

Overgevoeligheid alleen impliceert homogeniteit voor rationale α, omdat f ( x + x ) = f ( x ) + f ( x ) {Displaystyle f(x+x)=f(x)+f(x)}

impliceert f ( n x ) = n f ( x ) {displaystyle f(nx)=nf(x)}

voor elk natuurlijk getal n door wiskundige inductie, en dan n f ( x ) = f ( n x ) = f ( m n m x ) = m f ( n m x ) {\displaystyle nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}x)=mf({\tfrac {n}{m}x)}

impliceert f ( n m x ) = n m f ( x ) {\displaystyle f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)}

. De dichtheid van de rationale getallen in de realen impliceert dat elke additieve continue functie homogeen is voor elk reëel getal α, en dus lineair is.

Het begrip lineariteit kan worden uitgebreid tot lineaire operatoren. Belangrijke voorbeelden van lineaire operatoren zijn de afgeleide, beschouwd als een differentiaaloperator, en andere daaruit geconstrueerde operatoren, zoals del en de Laplaciaan. Wanneer een differentiaalvergelijking in lineaire vorm kan worden uitgedrukt, kan zij in het algemeen worden opgelost door de vergelijking in kleinere stukken op te splitsen, elk van die stukken op te lossen, en de oplossingen bij elkaar op te tellen.

Lineaire algebra is de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de studie van vectoren, vectorruimten (ook wel ‘lineaire ruimten’ genoemd), lineaire transformaties (ook wel ‘lineaire landkaarten’ genoemd), en stelsels lineaire vergelijkingen.

Voor een beschrijving van lineaire en niet-lineaire vergelijkingen, zie lineaire vergelijking.

Lineaire veeltermenEdit

In een ander gebruik dan de bovenstaande definitie wordt van een veelterm van graad 1 gezegd dat hij lineair is, omdat de grafiek van een functie van die vorm een rechte lijn is.

Over de realen is een lineaire vergelijking een van de volgende vormen:

f ( x ) = m x + b {\displaystyle f(x)=mx+b }

waarbij m vaak de helling of gradiënt wordt genoemd; b het y-afsnijpunt, dat het snijpunt geeft tussen de grafiek van de functie en de y-as.

Merk op dat dit gebruik van de term lineair niet hetzelfde is als in de paragraaf hierboven, omdat lineaire veeltermen over de reële getallen in het algemeen noch aan additiviteit noch aan homogeniteit voldoen. In feite is dat alleen het geval als b = 0. Als b ≠ 0 wordt de functie dus vaak een affiene functie genoemd (zie in meer algemene zin affiene transformatie).

Booleaanse functiesEdit

In de Booleaanse algebra is een lineaire functie een functie f {displaystyle f}

waarvoor er a 0 , a 1 , … , a n ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}} in \{0,1}}

zodat f ( b 1 , … , b n ) = a 0 ⊕ ( a 1 ∧ b 1 ) ⊕ ⋯ ⊕ ( a n ∧ b n ) {displaystyle f(b_{1},\ldots ,b_{n})=a_{0}}\oplus (a_{1}\land b_{1})\oplus (a_{n}\oplus (a_{n}]\land b_{n})}

, waarbij b 1 , … , b n ∈ { 0 , 1 } . , b_{1} , b_{n} , b_{n} , in b_{0 , 1}.}

Merk op dat als a 0 = 1 {\le a_{0}=1}

, de bovenstaande functie in de lineaire algebra als affien wordt beschouwd (d.w.z. niet lineair).

Een Booleaanse functie is lineair als voor de waarheidstabel van de functie een van de volgende geldt:

1. In elke rij waarin de waarheidswaarde van de functie T is, is aan de argumenten een oneven aantal Ts toegekend, en in elke rij waarin de functie F is, is aan de argumenten een even aantal Ts toegekend. In dit geval is f(F, F, …, F) = F, en deze functies komen overeen met lineaire kaarten over de Booleaanse vectorruimte.
2. In elke rij waarin de waarde van de functie T is, is er een even aantal Ts toegekend aan de argumenten van de functie; en in elke rij waarin de waarheidswaarde van de functie F is, is er een oneven aantal Ts toegekend aan de argumenten. In dit geval is f(F, F, …, F) = T.

Een andere manier om dit uit te drukken is dat elke variabele altijd een verschil maakt in de waarheidswaarde van de functie of dat ze nooit een verschil maakt.

Negatie, Logische biconditie, exclusieve of, tautologie, en contradictie zijn lineaire functies.