Wat is nul verheven tot de macht van nul? Dit is een vraag die meer dan 35 miljard en 378 miljoen keer is gesteld. En 98% van de mensen heeft niet juist geantwoord.
Vooreerst, wat betekent 2⁵? Het betekent 2 maal 2 maal 2 maal 2 maal 2. Met andere woorden, vermenigvuldig 2 met zichzelf 5 keer. Nu, we kunnen zeggen 0⁰ betekent “nul vermenigvuldigen met zichzelf 0 keer”. Hmmm, dat is lastig.
Laten we naar andere richtingen gaan en de andere machten vinden.
Eenmaal wanneer we een exponentiële vergelijking zien zoals 0⁹ = 0 , zullen we zeggen “nul tot de negende macht is nul”.
Het lijkt op 0⁰ = 0. Maar 0 tot de -5e macht is 1 over 0 wat onbepaald is en hetzelfde geldt voor 0 tot de -100e macht. De negatieve exponenten geven aan dat 0⁰ onbepaald zou moeten zijn.
Laten we dit eens van een andere kant benaderen. Andere getallen verheven tot 0 zijn gelijk aan 1.
Dit patroon geeft aan dat 0⁰ ook 1 zou moeten zijn. Dus, het lijkt erop dat er niet zeker een bepaalde nauwkeurige oplossing is? Welke is exact? Niettemin, afhankelijk van de situatie, kan je werk in een antwoord beter zijn dan de andere. De beste verklaring moet betrouwbaar zijn, nodeloze complexiteit verminderen, en voordelig zijn.
De meeste theoretici kiezen dat in veel gevallen, 1 de fijnste definitie is voor 0⁰. Laten we twee redenen daarvoor bekijken. een verhoging tot b kan worden gezien als het aantal verzamelingen van b elementen dat kan worden gekozen uit een verzameling van a elementen.
Zo kan bijvoorbeeld 2¹ worden gezien als het aantal verzamelingen van één element dat kan worden gekozen uit de verzameling van twee elementen.
En 0⁰ is het aantal verzamelingen van nul elementen dat kan worden gekozen uit een verzameling van nul elementen. En dat moet 1 zijn! Dus, 1 is de enige definitie die betrouwbaar is met dit begrip van exponentiëren.
In dit perspectief zou elke andere definitie de zaken onnodig verwarren. Voor een ander geval waarin 0⁰= 1 een gunstige definitie is, laten we eens kijken naar de binomiale uitspraak.
Als x = 0, vereenvoudigt dit tot 1 = 0⁰ – 1. In dit item is de enige verklaring voor 0⁰ die de binomiale uitspraak correct construeert 1. Opnieuw is 0⁰= 1 de enige definitie die nodeloze complexiteit vermijdt. Maar, afhankelijk van het soort wiskunde waar we mee bezig zijn, is 1 misschien niet altijd de beste definitie.
Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar enkele limieten. De limiet van een functie in punt a is de waarde van de functie die nadert als de invoer a nadert. We hebben te maken met limieten van de vorm 0⁰ als x = 0. Een eenvoudige is de limiet van x⁰ als x nadert tot 0. Omdat x⁰ = 1 in alle andere punten, is zijn limiet op 0 ook 1. Dit lijkt te bevestigen dat 0⁰ = 1.
Niettemin zijn er andere limieten van de vorm 0⁰ met andere waarden! De limiet van 0 verhoging naar x van rechts is 0… En van links is hij onbepaald. En andere limieten van de vorm 0⁰ kunnen elke waarde zijn zoals deze die e.
Deze conflicten zijn goede redenen om 0⁰ een “onbepaalde vorm” of “onbepaald” te noemen als je te maken hebt met limieten. Dit zijn de enige definities die consistent zijn met de manier waarop we limieten definiëren.
Dus wat is 0⁰? Dat hangt ervan af! Vaak is 1 het beste antwoord. Maar als het om limieten gaat, is “onbepaald” of “onbepaalde vorm” verstandiger. Afhankelijk van het soort wiskunde dat we doen, kunnen zelfs definities en conventies veranderen!