Door Benjamin Skuse
Mike Dunning/Getty
Separatrix Scheiding
Een slinger in beweging kan zowel van links naar rechts slingeren als in een ononderbroken cirkel draaien. Het punt waarop hij van het ene type beweging in het andere overgaat, wordt de separatrix genoemd, en deze kan in de meeste eenvoudige situaties worden berekend. Wanneer de slinger echter met een bijna constante snelheid wordt voortbewogen, valt de wiskunde uit elkaar. Bestaat er een vergelijking die zo’n separatrix kan beschrijven?
Advertentie
Science History Images / Alamy Stock Photo
Navier-Stokes
De Navier-Stokes vergelijkingen, ontwikkeld in 1822, worden gebruikt om de beweging van visceuze vloeistoffen te beschrijven. Dingen zoals lucht die over een vliegtuigvleugel stroomt of water dat uit een kraan stroomt. Maar er zijn bepaalde situaties waarin het onduidelijk is of de vergelijkingen falen of helemaal geen antwoord geven. Veel wiskundigen hebben geprobeerd – en gefaald – om de kwestie op te lossen, waaronder Mukhtarbay Otelbaev van de Euraziatische Nationale Universiteit in Astana, Kazachstan. In 2014 claimde hij een oplossing, maar trok die later weer in. Dit is een probleem dat meer waard is dan alleen prestige. Het is ook een van de Millennium Prize Problems, wat betekent dat iedereen die het oplost aanspraak kan maken op 1 miljoen dollar aan prijzengeld.
Cecile Lavabre/Getty
Exponenten en dimensies
Stel je een parfumspuitje voor dat zich door een kamer verspreidt. De beweging van elke molecule is willekeurig, een proces dat Brownse beweging wordt genoemd, ook al is de manier waarop het gas door de kamer waait voorspelbaar. Er is een wiskundige taal die dit soort dingen kan beschrijven, maar niet perfect. Zij kan exacte oplossingen bieden door haar eigen regels te buigen of zij kan strikt blijven, maar nooit helemaal tot de exacte oplossing komen. Kan het ooit beide vakjes aankruisen? Dat is wat het exponenten- en dimensiesprobleem vraagt. Afgezien van het quantum Hall geleidingsprobleem is dit het enige op de lijst dat althans gedeeltelijk is opgelost. In 2000 bewezen Gregory Lawler, Oded Schramm en Wendelin Werner dat exacte oplossingen voor twee problemen in Brownse beweging gevonden kunnen worden zonder de regels te buigen. Het leverde hen een Fields medaille op, het wiskunde-equivalent van een Nobelprijs. Meer recent loste Stanislav Smirnov aan de universiteit van Genève in Zwitserland een verwant probleem op, wat hem in 2010 de Fields medaille opleverde.
Godong / Alamy Stock Photo
Ompossibiliteitsstellingen
Er zijn tal van wiskundige uitdrukkingen die geen exacte oplossing hebben. Neem een van de beroemdste getallen ooit, pi, dat de verhouding is tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter. Een van de grootste bijdragen tot de wiskunde was het bewijs dat de cijfers van pi achter de komma nooit konden eindigen. Natuurkundigen zeggen ook dat het onmogelijk is om oplossingen te vinden voor bepaalde problemen, zoals het vinden van de exacte energieën van elektronen die om een heliumatoom draaien. Maar kunnen we die onmogelijkheid bewijzen?
Tetra Images/Getty
Spin glas
Om dit probleem te begrijpen, moet je iets weten over spin, een kwantummechanische eigenschap van atomen en deeltjes zoals elektronen, die ten grondslag ligt aan magnetisme. Je kunt het zien als een pijl die omhoog of omlaag kan wijzen. Elektronen in materiaalblokken zijn het gelukkigst als ze naast elektronen zitten die de tegengestelde spin hebben, maar er zijn bepaalde opstellingen waarin dat niet mogelijk is. In deze gefrustreerde magneten draaien de spins vaak willekeurig in het rond, op een manier die, zo blijkt, een nuttig model is voor andere ongeordende systemen, waaronder financiële markten. Maar we hebben beperkte mogelijkheden om wiskundig te beschrijven hoe dit soort systemen zich gedragen. Deze spin-glas vraag vraagt of we een goede manier kunnen vinden om dit te doen.
– Zie de volledige lijst van onopgeloste problemen: Open Problems in Mathematical Physics
Meer over deze onderwerpen:
- wiskunde
- natuurkunde