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Módulo e Argumento
O Diagrama Argand
Definição
Um diagrama Argand tem um eixo horizontal, referido como eixo real, e um eixo vertical, referido como eixo imaginário.
Um número complexo $z = a + bi$ é traçado nas coordenadas $(a,b)$, pois $a$ é a parte real do número complexo, e $b$ a parte imaginária.
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Exemplo trabalhado
Exemplo 1
Plotar os seguintes números complexos em um diagrama Argand.
\begin{alinhamento} z_1 &= 3+i \\\\ z_2 &= -2-4i \\\ z_3 &=-1+3i \ z_4 &= -2i \end{alinhamento}
Solução
Módulo e Argumento
Definição
Um número complexo $z$ pode ser representado por um ponto em um diagrama Argand. Podemos unir este ponto à origem com um segmento de linha. O comprimento do segmento de linha é chamado de módulo do número complexo e é denotado $\lvert z \rvert$. O ângulo medido do eixo real positivo para o segmento de linha é chamado de argumento do número complexo, denotado $arg(z)$ e frequentemente rotulado $\theta$. O módulo e o argumento podem ser calculados usando trigonometria.
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O módulo de um número complexo $z = a + b i$ é \
Ao calcular o argumento de um número complexo, há uma escolha a ser feita entre tomar valores no intervalo $$ ou no intervalo $$. Ambos são equivalentes e igualmente válidos. Nesta página vamos usar a convenção $-\pi \lt \pi$.
A forma ‘ingénua’ de calcular o ângulo até um ponto $(a,b)$ é usar $\arctan(\frac{b}{a})$ mas, como $\arctan$ só aceita valores no intervalo $$, isto dará o resultado errado para coordenadas com um componente $x$ negativo. Você pode corrigir isso adicionando ou subtraindo $\pi$, dependendo de qual quadrante do diagrama Argand o ponto se encontra.
- Primeiro quadrante: $\theta = \arctan \ esquerda(b}{a}{a}{a direita)$.
- Segundo quadrante: $$theta = {y:i}arctan esquerda(b) -pi$.
- Terceiro quadrante: $$theta = {y:i}arctan esquerda(b) -pi$.
- Quarto quadrante: $\theta = \arctan \arctan esquerda(\dfrac{b}{a}{a}direita)$.
É uma boa ideia desenhar um diagrama Argand do número complexo ao tomar a decisão sobre qual fórmula usar.
Nota: tenha cuidado com o caso quando $a=0$, ou seja, o número complexo não tem parte real. Neste caso, o método $\arctan$ não funciona, mas o argumento ou $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ para números com partes imaginárias positivas e negativas, respectivamente.
Exemplo
$z_1=1+i$ tem o argumento \\
No entanto, o mesmo cálculo para $z_2=-1-i$ dá $\arctan \ esquerda(\frac{-1}{-1}direita) = \arctan (1) = \dfrac{\pi}{4}$, o mesmo número!
Se sacarmos $z_2$ num diagrama Argand, podemos ver que cai no terceiro quadrante, por isso o argumento deve estar entre $–furac{\i}{\i}{\i1}$ e $-pi$. Devemos subtrair $\pi$ para corrigir isto e portanto obter $\arg z_2 = -\dfrac{3\pi}{4}$.
Exemplos trabalhados
Exemplo 1
Encontrar o módulo e argumento do número complexo $z = 3+2i$.
Solução
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\begin{alinhamento} \ivert z vert &= {3^2+2^2}} &==sqrt{9+4}} &==sqrt{13} \Fim do diagrama de Argand (alinhamento)
Como o número complexo está no primeiro quadrante do diagrama de Argand, podemos usar $\arctan \frac{2}{3}$ sem modificação para encontrar o argumento.
begin{alinhamento} \z z &= {\i1}arctan {\i1}esquerda(2}frac{\i}{\i1}direita) &=0,59 {\i1203>=0,59 {\i}texto (para 2 d.p.)} \end{alinhamento}
Exemplo 2
Ponte o módulo e o argumento do número complexo $z=4i$.
Solução
|centro
\begin{alinhamento} \1203>= {0^2+4^2}} &==sqrt{16}} &=4 ^end{align}
A maneira mais simples de encontrar o argumento é olhar para um diagrama Argand e traçar o ponto $(0,4)$. O ponto está no eixo vertical positivo, portanto \
Exemplo 3
Ponte o módulo e o argumento do número complexo $z = -2+5i$.
Solução
|centro
\begin{alinhamento} \ivert z vert &= {(-2)^2+5^2}} &===sqrt{4+25}} &==sqrt{29} \end{align}
Como $z$ está no segundo quadrante do diagrama Argand, precisamos adicionar $\pi$ ao resultado obtido a partir de $\pi$ esquerda(5) $.
begin{align} \z z &= {\an1203>= {\an1203>= 1,95 {\an1}textos (para 2 d.p.){\an1} \{alinhamento}
Exemplo 4
Ponte o módulo e o argumento do número complexo $z = -4-3i$.
Solução
|centro
\i>begin{alinhamento} &= {(-4)^2+(-3)^2}} &==sqrt{16+9}} &=sqrt{25}} &=5 ^end{alinhamento
As $z$ estão no terceiro quadrante do diagrama Argand, precisamos de subtrair $\i$ do resultado de $\i$ de esquerda(3) e direita(4).
\begin{align} \z z &= {\i1203>= {\i1203>= {\i1203>= {\i1203>= {\i1203>= {\i1203>= {\i1203>= {\i1203>= 0,64 – {\i1203>= -2,50 {\i1203>= -2,50 {\i1}texto (para 2 d.p.){\i} \Fim de linha: Em alternativa, a resposta poderia ter sido dada na faixa de $0lt a $0lt a 2 p.p.$, onde teríamos adicionado $0 p.p.$, em vez de subtraí-lo, e obtido uma resposta de $0arg z = 3,67$ radianos (a 2 d.p.).p.)
>
Exemplo 5
Ponhamos o módulo e o argumento do número complexo $z = 1-4i$.
Solução
|centro
\begin{alinhamento} \ivert z vert &= {1^2+(-4)^2}} &==sqrt{1+16}} &=sqrt{17} \Fim de 8013>
Como $z$ está no quarto quadrante do diagrama de Argand, não precisamos modificar o resultado de $arctan (esquerda) para encontrar o argumento.
begin (alinhar) \z z &= {1203>= {1203>= {1203>= {1203>= {1203>= {1203>= {1203>= -1,33 {axtra (para 2 d.p.)} \{alinhamento}
Video Exemplo
Prof. Robin Johnson desenha os números complexos $z=-1-i$ e $z=-4+3i$ num diagrama Argand, e encontra o seu módulo e argumento.
Livro de trabalho
Este livro de trabalho produzido pela HELM é um bom auxiliar de revisão, contendo pontos-chave para revisão e muitos exemplos trabalhados.
- Diagramas dergand e forma polar
Teste-te a ti mesmo
Teste-te a ti mesmo: Teste numérico para encontrar o módulo e o argumento